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Gleichmäßige stetigkeit??
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:24 Uhr, 10.02.2006  |
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Hallo leute ich hab da eine frage: ich hab die funktion f(x)=Wurzel(x) ich möchte mit der epsilon delta definition zeigen dass sie glm stetig ist. ich wahle ein x und ein y => |x-y|<delta => |f(x)-f(y)|<epsilon ich erweitere mit wurzel(x)+wurzel(y) =>|x^2-y^2|<epsilon so ab hier habe ich probleme: Woran erkenne ich jetzt dass die funktion gleichmäßig ist? mfg |
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anonymous 19:50 Uhr, 15.02.2006 |
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Hallo. Benutze, um die glm. Stetigkeit von f(x)=Wurzel(x) auf {x >= 0} nachzuweisen die Abschätzung: Für 0 <= a < b gilt: Wurzel(b)-Wurzel(a) < Wurzel(b-a) Das sieht man so ein: Die Funktion Wurzel(.): {x >= 0} -> {x >= 0} ist streng monoton wachsend. Aus b > a >= 0 folgt also Wurzel(b) > Wurzel(a), daraus -2Wurzel(b) < -2 Wurzel(a). Wegen a >= 0 ist können wir beiderseitig mit Wurzel(a) (was >=0 ist) multiplizieren und erhalten: -2Wurzel(ab) < -2Wurzel(a²)=-2a, also -2Wurzel(ab) < -2a. Beidseitig addiere nun b+a, so folgt: b+a-2Wurzel(ab) < b+a-2a, also a-2Wurzel(ab)+b < b-a. Wegen 0 <= a < b können wir a=(Wurzel(a))² und b=(Wurzel(b))² schreiben, also: a-2Wurzel(ab)+b < b-a liefert: (Wurzel(a))²-2Wurzel(a)Wurzel(b)+(Wurzel(b))² < b-a Linkerhand steht die 2e binomische Formel, also folgt: (Wurzel(a)-Wurzel(b))² < b-a. Für reelles x gilt |x|=Wurzel(x²), und damit und wegen der strengen Monotonie der Funktion Wurzel(.) folgt aus der letzten Ungleichung unter Beachtung von b-a >= 0: |Wurzel(a)-Wurzel(b)|=Wurzel[(Wurzel(a)-Wurzel(b))²] < Wurzel(b-a) Wegen 0 <= a < b ist Wurzel(a) < Wurzel(b), also |Wurzel(a)-Wurzel(b)|=Wurzel(b)-Wurzel(a). Damit folgt insgesamt: Wurzel(b)-Wurzel(a) < Wurzel(b-a). Nun zum Beweis der glm. Stetigkeit von f(x)=Wurzel(x). Ist e > gegeben, so wähle d=e². O.E. nehmen wir 0 <= x < y an, dann folgt für alle x,y mit y-x < d: |f(x)-f(y)|=Wurzel(y)-Wurzel(x) <= [obige Abschätzung] Wurzel(y-x) <= [strenge Monotonie der Funktion Wurzel(.)] Wurzel(d)=Wurzel(e²)=e. Damit ist Wurzel(.) glm stetig. Fertig! Gruß, Weißnix |
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