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Gleichung 4. Grades auflösen, Standardform in e/a

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gleichung 4. Grades, Gleichungssystem

 
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Broetchen93

Broetchen93 aktiv_icon

13:15 Uhr, 19.08.2015

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Und direkt habe ich noch eine Frage :-D)

Die Aufgabenstellung lautet:
Gegeben ist folgende Gleichung:
So weit ist das ja die Standardform einer Gleichung mit

Wie groß ist wenn die Gleichung folgende Lösung besitzt?





Mein Lösungsansatz war folgender: Ich baue mir 4 Gleichungen mit den vier und benutze das Einsetzungsverfahren, um alle Variablen herauszubekommen.





Wenn ich die Gleichungen miteinander verrechne und versuche, sie auf eine Variable herunterzubrechen, kommt immer heraus.
Ist mein Ansatz falsch?

.





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:20 Uhr, 19.08.2015

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Zu kompliziert.
Wenn Du schon Nullstellen kennst, kannst Du das Polynom so umschreiben:
. Daraus ist leicht zu berechnen.
Antwort
-Wolfgang-

-Wolfgang-

13:32 Uhr, 19.08.2015

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Wenn du die Gleichung durch a dividierst, erhältst du



mit der Nullstellenform



Wenn du letztere ausmultiplizierst hat man als konstanten Summanden





also


Gruß Wolfgang

EDIT: Sehe gerade, dass DrBoogie im Prinzip das Gleiche geschrieben hat!




Broetchen93

Broetchen93 aktiv_icon

13:33 Uhr, 19.08.2015

Antworten
Ist das schon die gesamte Gleichung?
Wo sind dann die ganzen anderen Variablen hin verschwunden?
Und wieso etc... sollte doch . sein.
Hat das Verfahren einen Namen?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:38 Uhr, 19.08.2015

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Lese das hier
de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierung_von_Polynomen
und vielleicht auch das
de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:40 Uhr, 19.08.2015

Antworten
"Wo sind dann die ganzen anderen Variablen hin verschwunden?"

Es gibt hier nur eine Variable: .


Das Resultat, das ich hier nutze, lautet so:
wenn Nullstellen von einem Polynom des Grades sind,
lässt es sich in der Form schreiben.


Broetchen93

Broetchen93 aktiv_icon

13:57 Uhr, 19.08.2015

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Und was ist mit den Vorfaktoren etc.? Wieso kann man die einfach weglassen? Und wieso verschwindet beim ausmultiplizieren das x? auf einmal?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:07 Uhr, 19.08.2015

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Hier ein Beispiel.
Das Polynom hat als Nullstellen und . Deshalb kann man es in der Form schreiben. Also, . Und jetzt kannst Du nachprüfen, dass dies wirklich stimmt (also, rechts ausmultiplizieren), und darüber nachdenken, wohin denn (in diesem Fall ) verschwunden sind.

Frage beantwortet
Broetchen93

Broetchen93 aktiv_icon

14:54 Uhr, 19.08.2015

Antworten
Okay, die Vorfaktoren sind also Ergebnis der Ausmultiplikation der Nullstellenform.
In deinem Beispiel hast du das wirklich gut erläutert, danke schonmal dafür. Somit bin ich auch aufs richtige Ergebnis gekommen.
Wenn ich ausmultipliziere, dann kommt bei mir als Ergebnis heraus. Das bedeutet also, ich kann hier sofort ablesen, da für herauskommt, und für (für ??)
. Wolfgang hat quasi eine Abkürzung benutzt, um auf das Ergebnis zu kommen.



Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:01 Uhr, 19.08.2015

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Du hast nicht , sondern , wobei unbekannt ist. Somit kannst Du nicht sagen: , . Aber Du kannst sagen: . Damit ist .
Frage beantwortet
Broetchen93

Broetchen93 aktiv_icon

15:11 Uhr, 19.08.2015

Antworten
Ah, ok, weil ich dann hab.

Wichtig, dass du das nochmal geschrieben hast!!
Ich kann mich nur vielmals bei euch bedanken!