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Gleichung Auflösen mit zwei Unbekannten

Universität / Fachhochschule

Polynome

Funktionen

Grenzwerte

Tags: polynom, unbekannt

LeonTU aktiv_icon

12:16 Uhr, 05.12.2019

Hallo,

ich brauche Hilfe bei der Aufgabe 7 vom Foto. Mein Lösungsansatz war Alpha und Beta auf eine Seite bringen und dann quadrieren mit anschließenden anwenden der binomischen Formel. Jedoch komm ich dann nicht weiter. Für Beta gelten übrigens die selben Lösungsmöglichkeiten.

Mit freundlichen Grüßen
Leon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

anonymous

12:50 Uhr, 05.12.2019

Hallo,

würde dir das dabei helfen die Lösung abzulesen ?

\sqrt{a x^{2} + b x + c} = α x + β

a x^{2} + b x + c = α^{2} x^{2} + 2 α β x + β^{2}

a + b + c = α^{2} + 2 α β + β^{2}

LeonTU aktiv_icon

13:02 Uhr, 05.12.2019

Hab für

α = \sqrt{a}

und für Beta=

\frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}}

Was ist aber mit c?

anonymous

13:26 Uhr, 05.12.2019

β

ist bekannt also ist auch

β^{2}

bekannt.

rundblick aktiv_icon

15:25 Uhr, 05.12.2019

.
"β ist bekannt .. "

wie kommst du auf diese lustige Idee

, P - R - O - O - F

?
lies den Aufgabentext: "Hierfür muss

α . .

. und ß gewählt werden

. .!

?
leider verunmöglicht uns aber LeonTU den Zugang zum Auswählfeld für ß

und nebenbei :
mir scheint, dass die von LeonTU notierten Lösungen

(13 : 02

Uhr,

05.12.2019)

wohl richtig sind.. :-)

aber :
der von LeonTU gewählte Titel seiner Anfrage : "Gleichung Auflösen mit zwei Unbekannten"
ist sowas von total daneben ..
es geht bei dieser Aufgabe doch schlicht um einen Grenzwert ..

.

HAL9000

15:55 Uhr, 05.12.2019

Die eigentliche Idee ist, dass

\sqrt{a x^{2} + b x + c} - (α x + β) = \frac{a x^{2} + b x + c - {(α x + β)}^{2}}{\sqrt{a x^{2} + b x + c} + α x + β} = \frac{(a - α^{2}) x^{2} + (b - 2 α β) x + c - β^{2}}{\sqrt{a x^{2} + b x + c} + α x + β}

dann und nur dann gegen Null konvergiert, wenn quadratisches und lineares Glied im Zähler gleich Null sind (was dann

a = α^{2}

und

b = 2 α β

erfordert) und es muss

α > 0

sein, sonst läuft der Nenner aus dem Ruder...

Das führt zu

α = \sqrt{a}

sowie in der Folge zu

β = \frac{b}{2 α} = \frac{b}{2 \sqrt{a}}

anonymous

16:04 Uhr, 05.12.2019

@ rundlick, was willst Du mir erzählen ? Wir haben beta doch bestmmt.

anonymous

16:06 Uhr, 05.12.2019

@rundblich war gemeint

anonymous

16:08 Uhr, 05.12.2019

@rundblick war gemeint

HAL9000

17:08 Uhr, 05.12.2019

Ja genau, was willst du rundblick? Man kann doch auch mit unausgegorenen, heuristischen Gedanken letztlich doch das richtige Gleichungssystem betrachten, und sich somit bei Multiple Choice durchmogeln. :-)

rundblick aktiv_icon

17:11 Uhr, 05.12.2019

.
"und nebenbei :
mir scheint, dass die von LeonTU notierten Lösungen

(13 : 02

Uhr,

05.12.2019)

wohl richtig sind.. :-)"

freut mich, dass auch HAL zu diesem Schluss kommt

viele Wege

. .

. (auch solche zum Durchmogeln :-) )
na ja - es soll gezeigt werden , dass α und β so gewählt werden können, dass

lim_{x \to \infty} [

\sqrt{a x^{2} + b x + c} - (

x +

)] = 0

a > 0

und β in

ℝ

kann das wohl auch so notiert werden:

lim_{x \to \infty} {x ⋆ [

\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}}} -

)] -

} = 0

und für fast alle α und β ist der Grenzwert nicht

0,

sondern nicht existent

(\to \infty)

da sieht Mann,

d a s s

nur

w e n n lim_{x \to \infty} (

\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}}} -

) = 0

ist ..

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

\to

also

w e n n

= \sqrt{a}

ist

... ... ... .

. :-)

die Untersuchung von

lim_{x \to \infty} {x \cdot [\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}}} - \sqrt{a}]}

weiterführt

(da der erste Faktor

x \to \infty

und der zweite

[. .

] \to 0

hilft de l'Hospital weiter )

da hat man schnell

\to lim_{x \to \infty} {\frac{\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}}} - \sqrt{a}}{\frac{1}{x}}} = . .

= \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}}

also damit

lim_{x \to \infty} [

\sqrt{a x^{2} + b x + c} - (

x +

)] = 0

gilt ,

... ... ... ... ... ... ... ... ... .

\to

muss α

= \sqrt{a}

..und..

\to β = \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}}

sein

... ... .

.

.

anonymous

00:12 Uhr, 06.12.2019

"Was ist aber mit c?"
Die Größen

α

und

β

sind offensichtlich unabhängig von

c

HAL9000

08:12 Uhr, 06.12.2019

Bei "richtiger" Wahl von

α

und

β

wirkt

c

nur noch folgendermaßen auf den Verlauf dieser Funktion

f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c} - \sqrt{a} x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}

: Es gibt ein (groß genug gewähltes)

x_{0}

, so dass für alle

x \geq x_{0}

gilt

a)

f (x)

ist streng monoton gegen 0 fallend für

c > \frac{b^{2}}{4 a}

,

b)

f (x) = 0

für

c = \frac{b^{2}}{4 a}

,

c)

f (x)

ist streng monoton gegen 0 wachsend für

c < \frac{b^{2}}{4 a}

,

d.h., Konvergenz gegen 0 hat man in jedem Fall.

anonymous

09:03 Uhr, 06.12.2019

<13:26 Uhr, 05.12.2019

β

ist bekannt also ist auch

β^{2}

bekannt.>

β = \frac{b}{2 \sqrt{a}}

β^{2} = \frac{b^{2}}{4 a} = c

Die vom TS gezeigte Aufgabe, und wer sie richtig liest erkennt das auch, besteht lediglich darin

α

und

β

so zu wählen dass die betreffende Funktion gegen null strebt.
Hier kann man aber eine viel stärkere Aussage verwenden und zwar dass für

\forall x \in ℝ : f (x) = 0

, indem man

α

und

β

entsprechend wählt und damit

\sqrt{a x^{2} + b x + c} - α - β = 0

gilt. Und so hat auch der TS die Aufgabe richtig verstanden und dementsprechend seinen Lösungsansatz gewählt.
Es ist dann tatsächlich direkt abzulesen welche Werte zu wählen sind:

a x^{2} + b x + c = α^{2} x^{2} + 2 α β x + β^{2}

a = α^{2}, α = \sqrt{a}

b = 2 α β, β = \frac{b}{2 \sqrt{a}}

HAL9000

10:19 Uhr, 06.12.2019

> Es ist dann tatsächlich direkt abzulesen welche Werte zu wählen sind:

>

a x^{2} + b x + c = α^{2} x^{2} + 2 α β x + β^{2}

Wenn du dies als für alle (oder zumindest viele)

x

zu geltende Gleichung so hinschreibst, dann forderst du damit per Koeffizientenvergleich

a = α^{2}

b = 2 α β

c = β^{2}

Während die ersten beiden Gleichungen Sinn machen, ist die letzte

c = β^{2}

NICHT erforderlich!!! Das ist hier doch nun lang und breit im Thread erklärt worden, warum wärmst du diesen Unfug mit der Gleichung also immer und immer wieder auf - unverständlich.

anonymous

10:57 Uhr, 06.12.2019

..unnötig waren für den TS alle eure Beiträge. Und jetzt zu versuchen mit Ausflüchten den eigenen Schuss in der Ofen zu kaschieren, naja.

Bummerang

11:00 Uhr, 06.12.2019

Hallo,

ich weiss gar nicht, warum hier aus einer Mücke ein Elefant gemacht wird!

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

= {(\sqrt{a} \cdot x)}^{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{a}}{2 \cdot \sqrt{a}} \cdot b \cdot x + c

= {(\sqrt{a} \cdot x)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}} \cdot x + {(\frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})}^{2} - {(\frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})}^{2} + c

= {(\sqrt{a} \cdot x + \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 \cdot a} + c

= {(\sqrt{a} \cdot x + \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})}^{2} + \frac{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}{4 \cdot a}

\Rightarrow

lim_{x \to \infty} \sqrt{{(\sqrt{a} \cdot x + \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})}^{2} + \frac{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}{4 \cdot a}} = \sqrt{a} \cdot x + \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}}

denn bekannt sollte sein, dass für konstantes

c

gilt:

lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} + c} = n

und

\frac{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}{4 \cdot a}

ist konstant!

Wesen eines Grenzwertes ist, wenn man die Definition anwendet, dass dann gilt:

lim_{x \to \infty} (\sqrt{{(\sqrt{a} \cdot x + \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})}^{2} + \frac{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}{4 \cdot a}} - (\sqrt{a} \cdot x + \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}})) = 0

\Leftrightarrow

lim_{x \to \infty} (\sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} - \sqrt{a} \cdot x - \frac{b}{2 \cdot \sqrt{a}}) = 0

EDIT: Kann mir jemand erklären, warum ich in der Vorschau in den letzten beiden Gleichungszeilen die Minuszeichen sehe, die ich auch eingegeben habe. Diese Minuszeichen aber hier im Forum nicht mehr angezeigt werden?

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 06.12.2019

"..unnötig waren für den TS alle eure Beiträge. Und jetzt zu versuchen mit Ausflüchten den eigenen Schuss in der Ofen zu kaschieren, naja."

Offenbar hat P-R-O-O-F immer noch nicht kapiert, dass er nur eine Vermutung
generiert hat, während die anderen Helfer die Werte für

α

und

β

hergeleitet bzw. sauber begründet haben.
Insbesondere die quadratische Ergänzung von Bummerang hat mir gut gefallen.

Gruß ermanus

anonymous

16:45 Uhr, 06.12.2019

{a, b, c, α, β} \in ℝ, a > 0

u (x) = a x^{2} + b x + c = α^{2} x^{2} + 2 α β x + β^{2} = v (x)

\forall x \in ℝ \exists (α \land β) : u (x) = v (x) : α = \sqrt{a}, β = \frac{b}{2 \sqrt{a}} = \sqrt{c}

x := 0 \Rightarrow c = \frac{b^{2}}{4 a} = c o n s t .

\Rightarrow a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} = α^{2} x^{2} + 2 α β x + β^{2} = (\sqrt{a})^{2} x^{2} + \frac{2 b \sqrt{a}}{2 \sqrt{a}} x + {(\sqrt{\frac{b^{2}}{4 a}})}^{2}

\Rightarrow a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} \equiv a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a}

Hmm, nur eine Vermutung !?

ermanus aktiv_icon

16:54 Uhr, 06.12.2019

Warum sollte

u (x) = v (x)

sein, außer du setzt es mal so ...
Übrigens, warum sollte plötzlich

c

von

a

und

b

abhängen,
wo

c

doch nach Aufgabenstellung beliebig ist.

anonymous

17:11 Uhr, 06.12.2019

Nun, wenn

u (x) - v (x) = 0

ist, dann ist

u (x) = v (x)

. Oder wie willst Du das widerlegen ?

ermanus aktiv_icon

17:15 Uhr, 06.12.2019

Du behauptest, dass wenn die Aufgabe eine Lösung hat
bei

b = 2

und

a = 1

und

c = π

, dass dann

π = \frac{b^{2}}{4 a} = 1

ist. Sehr interessant !!!!

ermanus aktiv_icon

17:20 Uhr, 06.12.2019

Die Aufgabe geht nicht von

u (x) = v (x)

aus, sondern von

lim (\sqrt{u (x)} - w (x)) = 0

aus, was etwas ganz anderes ist.

anonymous

17:23 Uhr, 06.12.2019

Nein,

c

ist von

x

unabhängig und es gibt für jedes

a, b

ein

c (a, b)

mit dem für alle

x : f (x) = 0

gilt.

...ich geb auf.

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