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Gleichung Modulo m mit einer einer Unbekannten

Universität / Fachhochschule

Tags: Modulo unbekannte

 
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binfob

binfob

10:26 Uhr, 05.07.2020

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Hallo zusammen,

es geht um eine Problem beim Lösen einer Gleichung mit einem Modul mit einer Unbekannten:

(89a)mod97=47

Es gilt hier a zu bestimmen. Die (eine) Lösung dazu lautet:

a=97n+79,n element Z

Leider ist es mir bisher nicht gelungen die einzelnen Schritte zu dieser Lösung zu finden. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir diese Schritte zeigen könnte.

Vielen Dank im Voraus!
Berti

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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10:55 Uhr, 05.07.2020

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Hallo,

hier eine "unsystematische" Lösung:
89a47 mod 97
-8a-50 mod 97
4a25-72 mod 97
a-1879 mod 97.

Gruß ermanus

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:09 Uhr, 05.07.2020

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Hallo,

suche nach "inverses modulo". Auf den Seiten der dortigen Treffer werden (wie vermutlich auch in deinem Skript oder deiner Mitschrift) erklärt, wie man das rechnet.

Nach etlicher Recherche habe ich auch einen geeigneten Faden hier im Forum gefunden:
www.onlinemathe.de/forum/Multiplikatives-Inverses-finden-

Mfg Michael
binfob

binfob

11:18 Uhr, 05.07.2020

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Hallo Ermanus,

herzlichen Dank für deine schnelle Antwort. Zur Erklärung, ich bin weder Schüler noch Student sondern nur in Teilbereichen mathematisch interessiert. Leider fehlt mir für diesen Bereich wohl das mathematische Rüstzeug. Vielleicht wärst du bereit, mir bei den einzelnen Schritten zu den Gesetzmäßigkeiten zu helfen?

1. Ursprung auf Schritt eins:
mod97 wandert auf die rechte Seite. Nach welcher Gesetzmäßigkeit kann das geschehen?
2. Schritt eins auf Schritt zwei:
Es werden 97 abgezogen. Kann das beliebig geschehen? Ist es Zufall, dass es hier identisch zum Modul ist?
3. Schritt zwei auf Schritt drei:
Es wird durch zwei geteilt. Wie kommt die -72 zustande?
4. Schritt drei auf Schritt vier:
Diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen.

Danke für deine Mühe!
Berti
binfob

binfob

11:31 Uhr, 05.07.2020

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Hallo Michael,

danke für deine Antwort. Da ich mich schon einige Zeit damit beschäftige, bin ich tatsächlich auch schon auf das multiplikative Inverse Modulo n gestoßen. Leider ist das fast immer in der Form a ∗ a−1 ≡ 1(modn), so wie z.B. hier: www.uni-weimar.de/fileadmin/user/fak/medien/professuren/Mediensicherheit/Teaching/WS1819/Diskrete_Strukturen/ds02.pdf (S. 24)

Die "Umformung" auf meine "Gleichung" will mir nicht gelingen. Ich werde mir deinen genannten Beitrag ansehen und hoffe hier weiter zu kommen.

Danke!
Gruß Berti

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:31 Uhr, 05.07.2020

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89a mod 97 =47 bedeutet ja, dass
89a und 47 bei Division denselben Rest mod 97 liefern,
das ist dasselbe wie zu sagen
89a-47 ist durch 97 teilbar,
Für "x-y ist durch m teilbar" hat Gauss die Schreibweise
"xy mod m" eingeführt, eine sogenannte "Kongruenz".
Mit Kongruenzen rechnet man "fast genauso" wie mit Gleichungen:
Aus xy mod m und uv mod m kann man
x±uy±v und x*uy*v mod m schließen.
Da m0 mod m ist, kann man sowohl links als auch rechts
in einer Kongruenz beliebige ganzzahlige Vielfache von m addieren.
Damit sind 1. und 2. wohl geklärt?
Zu 3: es ist 25-97=-72 (ein Vielfaches von m rechts abgezogen)
Zu 4: es ist -18+97=79 (ein Vielfaches von m rechts addiert)

Gruß ermanus

Frage beantwortet
binfob

binfob

12:11 Uhr, 05.07.2020

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Hallo Ermanus,

ganz herzlichen Dank! Großartig, Problem gelöst.

Einen schönen Sonntag.
Berti