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Gleichung - alle reellen Zahlen ermitteln

Schüler Gymnasium,

Tags: gleichung lösen

anika aktiv_icon

19:59 Uhr, 24.04.2013

Hallo!,
ich sitze gerade vor folgender Aufgabe: Man ermittle für jede reelle Zahl a alle reellen Zahlen

x,

die die Gleichung

2 | x + a | - | x - 2 a | = 3 a

erfüllen.
Ich habe versucht die Gleichung "normal" nach

x

aufzulösen und

x

dann in die Gleichung einzusetzen, aber da komme ich nicht weiter, glaube ich.
Trotzdem will ich schreiben, was ich mir aufgeschrieben habe, damit mir irgendjemand weiterhelfen kann (ist zwar totaler Unsinn, aber dann kann man mir ja evtl. sagen, wo mein Denkfehler liegt). Danke schon mal!

2 x^{2} - 4 a^{2} = 3 a | \sqrt{}

2 x - 4 a = \sqrt{3} a | + 4 a

2 x = \sqrt{3} a + 4 a | : 2

x = \frac{\sqrt{3} a + 4 a}{2}

2 {(\frac{{(\sqrt{3} a + 4 a)}^{2}}{2})}^{2} - 2 a^{2} = 3 a

2 \cdot {(\frac{\sqrt{3} a + 4 a}{2})}^{2} - 4 a^{2} = 3 a | \sqrt{}

\sqrt{2 \cdot \frac{\sqrt{3} a + 4 a}{2}} - 4 a = 3 a | + 4 a

\sqrt{2 \cdot \frac{\sqrt{3} a + 4 a}{2}} = 7 a

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

gaubes aktiv_icon

20:08 Uhr, 24.04.2013

der fehler liegt direkt im ersten schritt. wenn du die wurzel nimmst erhälst du :

\sqrt{2 x^{2} - 4 a^{2}} = \sqrt{3 a}

das gesetz was du nutzen möchtest

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b

existiert nicht.

\sqrt{100 + 4}

ist als beispiel nciht

10 + 2 = 12

Ma-Ma aktiv_icon

20:41 Uhr, 24.04.2013

Das ist eine Betragsgleichung

\to

Lösung mit Fallunterscheidungen.
Hattet Ihr das schon ?

anika aktiv_icon

12:08 Uhr, 25.04.2013

Nein, im Unterricht auf jeden Fall nicht, aber ich habe mich gefragt, wie man so was lösen kann. Bisher mussten wir nur wissen, was ein Betrag ist, mehr nicht.

anika aktiv_icon

12:39 Uhr, 25.04.2013

hab mich mal ein wenig über das Thema informiert und weiß jetzt was du mit dem Begriff "Fallunterscheidung" meinst.
Demnach gibt es

z . B

. für den ersten Betrag zwei Fälle, nämlich

x + a \geq 0

und

x + a < 0,

oder?
Bei dem zweiten Betrag wären die zwei Fälle dann

x - 2 a \geq 0

und

x - 2 a < 0

.
Jetzt wird es etwas schwer, das zu bestimmen, weil es zwei Variablen gibt...

Bummerang

15:12 Uhr, 25.04.2013

Hallo,

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

| x + a | = x + a \Leftrightarrow x + a \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - a

| x + a | = - (x + a) = - x - a \Leftrightarrow x + a < 0 \Leftrightarrow x < - a

| x - 2 \cdot a | = x - 2 \cdot a \Leftrightarrow x - 2 \cdot a \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \cdot a

| x - 2 \cdot a | = - (x - 2 \cdot a) = - x + 2 \cdot a \Leftrightarrow x - 2 \cdot a < 0 \Leftrightarrow x < 2 \cdot a

\Rightarrow

Abhängig davon, ob a größergleich oder kleiner als Null ist, sind die Fallunterscheidungen für

x

notwendig, da für

a \neq 0

die Werte

2 \cdot a

und

- a

unterschiedliche Vorzeichen haben und mal der eine Wert und das andere Mal der andere Wert größer ist.

Fall

1 : a \geq 0 \Rightarrow - a \leq 2 \cdot a

Fall

1.1 : x < - a \leq 2 \cdot a \Rightarrow | x + a | = - x - a

UND

| x - 2 \cdot a | = - x + 2 \cdot a

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

2 \cdot (- x - a) - (- x + 2 \cdot a) = 3 \cdot a

- 2 \cdot x - 2 \cdot a + x - 2 \cdot a = 3 \cdot a

- x = 7 \cdot a

x = - 7 \cdot a

Fall

1.2 : - a \leq x < 2 \cdot a \Rightarrow | x + a | = x + a

UND

| x - 2 \cdot a | = - x + 2 \cdot a

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

2 \cdot (x + a) - (- x + 2 \cdot a) = 3 \cdot a

2 \cdot x + 2 \cdot a + x - 2 \cdot a = 3 \cdot a

3 \cdot x = 3 \cdot a

x = a

Fall

1.3 : - a \leq 2 \cdot a \leq x \Rightarrow | x + a | = x + a

UND

| x - 2 \cdot a | = x - 2 \cdot a

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

2 \cdot (x + a) - (x - 2 \cdot a) = 3 \cdot a

2 \cdot x + 2 \cdot a - x + 2 \cdot a = 3 \cdot a

x = - a

Fall

2 : a < 0 \Rightarrow 2 \cdot a < - a

Fall

2.1 : x < 2 \cdot a < - a \Rightarrow | x + a | = - x - a

UND

| x - 2 \cdot a | = - x + 2 \cdot a

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

2 \cdot (- x - a) - (- x + 2 \cdot a) = 3 \cdot a

- 2 \cdot x - 2 \cdot a + x - 2 \cdot a = 3 \cdot a

- x = 7 \cdot a

x = - 7 \cdot a

Fall

2.2 : 2 \cdot a \leq x < - a \Rightarrow | x + a | = - x - a

UND

| x - 2 \cdot a | = x - 2 \cdot a

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

2 \cdot (- x - a) - (x - 2 \cdot a) = 3 \cdot a

- 2 \cdot x - 2 \cdot a - x + 2 \cdot a = 3 \cdot a

- 3 \cdot x = 3 \cdot a

x = - a

Fall

2.3 : 2 \cdot a \leq - a \leq x \Rightarrow | x + a | = x + a

UND

| x - 2 \cdot a | = x - 2 \cdot a

2 \cdot | x + a | - | x - 2 \cdot a | = 3 \cdot a

2 \cdot (x + a) - (x - 2 \cdot a) = 3 \cdot a

2 \cdot x + 2 \cdot a - x + 2 \cdot a = 3 \cdot a

x = - a

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