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Gleichung auf Normalform transformieren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Perico aktiv_icon

10:22 Uhr, 06.01.2012

Guten Tag zusammen,

Ich hatte schon mal eine Frage gestellt, aber nun habe ich eine 2. Frage dazu:

Gegeben ist die Differentialgleichung:

ẋ(t) =−x(t)+2y(t)

ẏ(t) =x(t)−3y(t)

Gesucht:
Man transformiere die Gleichungs auf Normalform. Dazu ist die Transformationsmatrix

T

zu finden, welche A auf die Normalform

N

transformiert. Sodann stelle man die Gleichung in den neuen Koordinaten

(u, v)

dar.

Ich weiss, dass die Normalform quasi die Jordanische Form wie folgt aussieht (λ

= r)

J = (\begin{matrix} r_{1} & 0 \\ 0 & r_{2} \end{matrix})

Ich muss also folgendes herausfinden:

J = T^{- 1}

⋅ A ⋅

T

wieder mal bin ich wie blockiert, und zudem seh ich noch nicht, wo

u

und

v

her kommen?

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen? Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:36 Uhr, 06.01.2012

Hallo,

wenn Deine Dgl lautet:

X' = A \cdot X

mit

X = (x, y)

und es ist

J = T^{- 1} \cdot A \cdot T

. Dann folgt:

T^{- 1} X' = T^{- 1} \cdot A \cdot T \cdot T^{- 1} X,

also

U' = J \cdot U

für

U = (u, v) = T^{- 1} X

Das ist die gesuchte Transformation.

Gruß pwm

Perico aktiv_icon

11:58 Uhr, 06.01.2012

vielen Dank pwmeyer

Irgendwie komme ich mit dieser Antwort nicht ganz nach, ist das schon die Lösung zur gesuchten Frage?

U' = J

⋅

U

für

U = (u, v) = T^{- 1} X

Weil ich müsste anschliessend noch folgendes machen:

löse die Gleichung im (u,v)-System unter der Anfangsbedingung

u (0) = u_{0}, v (0) = v_{0}

pwmeyer aktiv_icon

12:37 Uhr, 06.01.2012

Hallo,

naja, du brauchst dafür noch die Matrix

J,

die ja durch die Eigenwerte von A bestimmt ist.

Gruß pwm

Perico aktiv_icon

14:34 Uhr, 06.01.2012

Also die Eigenwerte habe ich schon bereits berechnet.

Dann wäre ja

J = (\begin{matrix} - 2 + \sqrt{3} & 0 \\ 0 & - 2 - \sqrt{3} \end{matrix})

Aber was ich noch nicht ganz verstehen, du hast oben

X' = A \cdot X

angefangen umzuformen, aber mir ist nicht ganz klar, welche Formel von Oben ich jetzt benutzen muss, um die

Frage:
Man transformiere die Gleichungs auf Normalform. Dazu ist die Transformationsmatrix

T

zu finden, welche A auf die Normalform

N

transformiert. Sodann stelle man die Gleichung in den neuen Koordinaten

(u, v)

dar.

Sowie:
löse die Gleichung im (u,v)-System unter der Anfangsbedingung

u (0) = u_{0}, v (0) = v_{0}

zu lösen. Danke

pwmeyer aktiv_icon

18:28 Uhr, 06.01.2012

Die Eigenvektoren der beiden Eigenwerte bilden die Spalten der Transformationsmatrix.

Gruß pwm

Perico aktiv_icon

19:52 Uhr, 06.01.2012

Hallo, danke nochmals

Also du meinst:

T = (\begin{matrix} - 2 + \sqrt{3} \\ - 2 - \sqrt{3} \end{matrix})

Langsam bin ich bisschen verzweifelt, wenn es für dich kein grosser Aufwand ist, könntest du mir vielleicht die Lösung / Lösungsweg zur Aufgabe geben? Naja, sitz schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe..

Vielen Dank hast mir bisher viel Geholfen.

pwmeyer aktiv_icon

12:11 Uhr, 07.01.2012

Hallo,

T

setzt sich aus den Eigen

v e k t o r e n

zusammen, die sind also zunächst zu bestimmen.

Gruß pwm

Perico aktiv_icon

19:08 Uhr, 07.01.2012

Oh hab ich wohl falsch gesehen.

OK hier sind die Eigenvektoren.

Eigenvektor

1 : (\begin{matrix} 1 + \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix})

Eigenvektor

2 : (\begin{matrix} 1 - \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix})

Demnach müsste dann

T = (\begin{matrix} 1 + \sqrt{3} & 1 - \sqrt{3} \\ 1 & 1 \end{matrix})

sein, ist das richtig?

Wie es weitergeht, weiss ich leider nicht so genau, weil ich deine 1. Antwort wo du alles umgeformt hast, nicht ganz verstanden habe.

Gruss

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