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Gleichung auflösen an der schon Software versagt

Universität / Fachhochschule

Tags: Auflösen, Gleichung umformen, Gleichung.

Zeuschi aktiv_icon

11:42 Uhr, 11.01.2019

Hallo,

Folgende Gleichung muss ich nach

x

umstellen. Diverse (einfach zu bedienende) Freewareprogramme sind daran bereits gescheitert. Vielleicht kann mir ja hier jemand weiterhelfen.

y = \frac{a \cdot (\frac{a}{b} - 1) \cdot c \cdot e^{- c \cdot x}}{{((\frac{a}{b} - 1) \cdot e^{- c \cdot x} + 1)}^{2}} = \frac{a \cdot b \cdot (a - b) \cdot c \cdot e^{c \cdot x}}{{(b \cdot e^{c \cdot x} - b + a)}^{2}}

Ich habe bereits Meinungen gehört, dass man die Gleichung nicht nach

x

umstellen kann (?). Es gibt für

x

jedoch definitiv (mindestens?) 2 reelle Lösungen. Die kann ich mir anhand des Graphen und einer Wertetabelle auch jeweils rausfischen aber das ist ja keine Art...

Bin für jede Hilfe dankbar.

Mein bisheriger Lösungsansatz, der mich allerdings auch nicht wirklich weiterbringt:

y = \frac{a \cdot b \cdot (a - b) \cdot c \cdot e^{c \cdot x}}{{(b \cdot e^{c \cdot x} - b + a)}^{2}} | \sqrt{}

\sqrt{y} = \frac{\sqrt{a \cdot b \cdot (a - b) \cdot c \cdot e^{c \cdot x}}}{b \cdot e^{c \cdot x} - b + a} | \cdot (b \cdot e^{c \cdot x} - b + a)

\sqrt{y} \cdot (b \cdot e^{c \cdot x} - b + a) = \sqrt{a \cdot b \cdot (a - b) \cdot c \cdot e^{c \cdot x}}

\sqrt{y} \cdot b \cdot e^{c \cdot x} - \sqrt{y} \cdot b + \sqrt{y} \cdot a = \sqrt{a \cdot b \cdot (a - b) \cdot c} \cdot \sqrt{e^{c \cdot x}} | A = \sqrt{y} \cdot b + \sqrt{y} \cdot a; B = \sqrt{a \cdot b \cdot (a - b) \cdot c}

\sqrt{y} \cdot b \cdot e^{c \cdot x} - A = B \cdot \sqrt{e^{c \cdot x}}

Aber auch hier komme ich nicht weiter.

Vielen Dank für eure Ideen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:51 Uhr, 11.01.2019

Mit Substitution

t = e^{c x}

ist das letztlich doch nur eine quadratische Gleichung in

t

Zeuschi aktiv_icon

12:49 Uhr, 11.01.2019

Matheunterricht (sowohl Schule als auch Uni) ist mittlerweile lange her.
Da braucht es manchmal einfach nur einen Denkanstoß in die richtige Richtung.
Vielen Dank!!!!!

maxsymca

14:07 Uhr, 11.01.2019

Ein CAS sollte da keine Schwierigkeiten damit haben

x = \frac{log (\frac{a \cdot \sqrt{a^{2} \cdot c^{2} - 4 \cdot a \cdot c \cdot y}}{2 \cdot b \cdot y} - \frac{\sqrt{a^{2} \cdot c^{2} - 4 \cdot a \cdot c \cdot y}}{2 \cdot y} + \frac{a^{2} \cdot c}{2 \cdot b \cdot y} - \frac{a \cdot c}{2 \cdot y} - \frac{a}{b} + 1)}{c},

x = \frac{log (- \frac{a \cdot \sqrt{a^{2} \cdot c^{2} - 4 \cdot a \cdot c \cdot y}}{2 \cdot b \cdot y} + \frac{\sqrt{a^{2} \cdot c^{2} - 4 \cdot a \cdot c \cdot y}}{2 \cdot y} + \frac{a^{2} \cdot c}{2 \cdot b \cdot y} - \frac{a \cdot c}{2 \cdot y} - \frac{a}{b} + 1)}{c}

www.geogebra.org/cas
http//maxima-online.org/

anonymous

14:21 Uhr, 11.01.2019

Hallo
Um uns die Schreibarbeit und die Unmenge an Konstanten zu erleichtern, lass uns vereinfachen/vereinbaren:

\frac{d \cdot e^{- z}}{{(f \cdot e^{- z} + 1)}^{2}} = \frac{b^{2} \cdot d \cdot e^{z}}{{(b \cdot e^{z} + g)}^{2}}

\frac{e^{- z}}{{(f \cdot e^{- z} + 1)}^{2}} = \frac{b^{2} \cdot e^{z}}{{(b \cdot e^{z} + g)}^{2}}

e^{- z} \cdot {(b \cdot e^{z} + g)}^{2} = b^{2} \cdot e^{z} \cdot {(f \cdot e^{- z} + 1)}^{2}

e^{- z} \cdot (b^{2} \cdot e^{2 \cdot z} + 2 \cdot b \cdot e^{z} \cdot g + g^{2}) = b^{2} \cdot e^{z} \cdot (f^{2} \cdot e^{- 2 \cdot z} + 2 \cdot f \cdot e^{- z} + 1)

b^{2} \cdot e^{z} + 2 \cdot b \cdot g + g^{2} \cdot e^{- z} = b^{2} \cdot f^{2} \cdot e^{- z} + 2 \cdot b^{2} \cdot f + b^{2} \cdot e^{z}

ganze Gleichung mal

e^{z} :

b^{2} \cdot e^{2 \cdot z} + 2 \cdot b \cdot g \cdot e^{z} + g^{2} = b^{2} \cdot f^{2} + 2 \cdot b^{2} \cdot f \cdot e^{z} + b^{2} \cdot e^{2 \cdot z}

2 \cdot b \cdot g \cdot e^{z} + g^{2} = b^{2} \cdot f^{2} + 2 \cdot b^{2} \cdot f \cdot e^{z}

(2 \cdot b \cdot g - 2 \cdot b^{2} \cdot f) \cdot e^{z} = b^{2} \cdot f^{2} - g^{2}

e^{z} = \frac{b^{2} \cdot f^{2} - g^{2}}{2 \cdot b \cdot g - 2 \cdot b^{2} \cdot f}

z = ln (\frac{b^{2} \cdot f^{2} - g^{2}}{2 \cdot b \cdot g - 2 \cdot b^{2} \cdot f})

c \cdot x = ln (\frac{b^{2} \cdot f^{2} - g^{2}}{2 \cdot b \cdot g - 2 \cdot b^{2} \cdot f})

x = \frac{1}{c} \cdot ln (\frac{b^{2} \cdot f^{2} - g^{2}}{2 \cdot b \cdot g - 2 \cdot b^{2} \cdot f})

(edit, Ergänzung):

x = \frac{1}{c} \cdot ln (\frac{(b \cdot f + g) \cdot (b \cdot f - g)}{2 \cdot b \cdot (g - b \cdot f)})

x = \frac{1}{c} \cdot ln (\frac{- b \cdot f - g}{2 \cdot b})

Zeuschi aktiv_icon

14:28 Uhr, 11.01.2019

Nochmals, danke! Ich habs jetzt!
Ich stand auf dem Schlauch was die Substitution

t = \sqrt{e^{c \cdot x}}

und die sich daraus ergebende quadratische Gleichung anging.

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