Gleichung auflösen implizite Funktion

Hallo zusammen, ich bräuchte etwas Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

1. b) Zeigen Sie, dass die Gleichung y3 ? x3 + xy + 1 = 0 fu ?r jedes x > 0 genau eine Lo ?sung y = f(x) ? R hat, und berechnen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 von f am Punkt x0 = 1.

2. c) Zeigen Sie mit dem Satz u ?ber implizite Funktionen, dass es keine bijektive C1-Abbildung f :R2 ?Rgibt.

Also zu b habe ich zun?chst angeschaut

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}):={\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$ Dann ist g(1,0)=0 und g aus "C unendlich".

Mit ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=3{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\frac{\partial \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(1,0)=1\ne 0}$ ist also der Satz ?ber implizite Funktionen anwendbar, au?erdem ist ${\displaystyle {3\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$ f?r x >0 wie gefordert.

Als Ableitung meiner Funktion f m?sste ich doch nun

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\frac{{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{{3{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{}}}$ erhalten, oder? Sind die ?berlegungen so weit richtig? Hier komme ich nun nicht so ganz weiter (zweite Ableitung von f).

Zu c) hab ich noch nicht so eine richtige Idee wie ich da rangehen k?nnte (Widerspruch?)

Vielen Dank schonmal, lg