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Gleichung der Ebene bestimmen, parameter frei

Universität / Fachhochschule

Tags: Ebenengleichung, Vektor

AntiKoerpeR aktiv_icon

14:19 Uhr, 22.05.2014

Hallo,

folgendes Problem: und zwar soll ich anhand von 3 Punkten die Ebenengleichung aufstellen, einmal mit Parameter und einmal ohne Parameter.

P 1 (1,4,1)

P 2 (3, - 2,7)

P 3 (5,0,3)

Mit Parameter habe ich folgendes Ermittelt

r = (1,4,1) + t (2, - 6,6) + s (4, - 4,2)

dann habe ich

n = (12,20,16)

berechnet, nur wie geht es jetzt weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

funke_61 aktiv_icon

14:30 Uhr, 22.05.2014

Ich habe noch nicht nachgerechnet, Ob Deine bisherigen Ergebnisse stimmen.

Wenn Du den Normalenvektor und einen Punkt (nehmen wir mal

P_{1})

der Ebene hast, dann kannst Du die Normalenform der Ebenengleichung aufstellen.
(Hier der Weg mit

\vec{p_{1}}

als Ortsvektor von

P_{1})

Da ein "beliebiger Vektor in der Ebene"
dies ist der Vektor

(\vec{x} - \vec{p_{1}})

immer senkrecht auf

\vec{n}

stehen muss, gilt die Gleichung

(\vec{x} - \vec{p_{1}}) \cdot \vec{n} = 0

evtl. noch ausmultiplizieren, vereinfachen, fertig.
;-)

AntiKoerpeR aktiv_icon

14:35 Uhr, 22.05.2014

Bitte überprüfe mal meine Ergebnisse.

Bin mir nämlich überhaupt nicht sicher ob

n

stimmt.

Die Lösung soll

3 x + 5 y + 4 z - 27

sein.

funke_61 aktiv_icon

14:43 Uhr, 22.05.2014

ich erhalte auch

\vec{n} = (\begin{matrix} 12 \\ 20 \\ 16 \end{matrix})

um Rechenarbeit zu sparen (es kommt ja nur auf die Richtung von

\vec{n}

an),
darf man

\vec{n} = (\begin{matrix} 12 \\ 20 \\ 16 \end{matrix}) = 4 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})

und dann mit

\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})

weiterrechen.
also:

((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) = 0

Versuch mal Deine Lösung mit diesem Zwischenergebnis zu vergleichen.
Ich rechne in der Zwischenzeit auch mal weiter.
;-)

funke_61 aktiv_icon

14:46 Uhr, 22.05.2014

Ja, ich erhalte so auch das Ergebnis.
Wenn Du mit dem "ungekürzten" Normalenvektor gerechnet hast, kannst Du auch jetzt noch deine Normalengleichung durch 4 teilen.
Wenn Du Dich nicht verrechnet hast, dann solltest die Musterlösung erhalten.
;-)

AntiKoerpeR aktiv_icon

14:47 Uhr, 22.05.2014

Na wenn ich mit