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Gleichung der Ebene finden (durch Spiegel-Matrix

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

anonymous

20:00 Uhr, 12.02.2017

Liebes Forum,

Für eine Abbildung

x \to

Ax soll man eine Parameterform oder Gleichung einer Ebene finden.
Vlt hat es etwas mit den den Basisvektoren von R³ zu tun der Formel für Spiegelung Punkt-Ebene.

Leider weiss ich nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

20:15 Uhr, 12.02.2017

Wenn

x \mapsto A x

eine Spiegelung an einer Ebene beschreibt, hat A die Eigenwerte

- 1

und 1.

\\\\

Die Ebene an der gespiegelt wird, ist dann der Eigenraum von A zum Eigenwert 1.

[

Begründung: Jeder Punkt/Vektor

v

in der Spiegelebene ist ein Fixpunkt von

x \mapsto A x,

so dass also

A v = v = 1 v

gelten muss, also

v

ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 sein muss.

]

Oder anders ausgedrückt: Die Spiegelebene ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems

A x = x

bzw.

(A - I_{3}) x = 0

bzgl.

x,

wobei

I_{3}

die

3 \times 3

-Einheitsmatrix ist.

Wenn du also eine Basis

{v_{1}, v_{2}}

des Eigenraums von A zum Eigenwert 1 berechnest, so ist

{λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} | λ_{1}, λ_{2} \in ℝ}

die Spiegelebene in Parameterform.

\\\\

Du könntest auch einen Eigenvektor

n

von A zum Eigenwert

- 1

suchen. Dieser ist dann ein Normalenvektor der Spiegelebene, so dass du dann die Ebenengleichung in Normalenform bzw. als Koordinatengleichung angeben kannst.

anonymous

18:11 Uhr, 17.02.2017

Hey danke für die Antwort, woher weisst du, dass der Eigenwert

- 1

und 1 ist ?

mihisu aktiv_icon

19:27 Uhr, 17.02.2017

Weil es eine Spiegelung ist. Ich habe doch sogar bereits beschrieben, was die Eigenräume für die Spiegelung bedeuten. Es gibt den folgenden Satz, welchen man sich mit ein wenig rämlichen Vorstellungsvermögen leicht merken kann:

Satz:
Sei

v \in ℝ^{n} \ {0}

Normalenvektor einer (Hyper-)Ebene

E = {v}^{⊥}

. Sei

φ : ℝ^{n} \to ℝ^{n}, x \to x - 2 \frac{〈 x, v 〉}{〈 v, v 〉} v

die Spiegelung an dieser (Hyper-)Ebene.
Dann ist

- 1

ein einfacher Eigenwert von

φ

mit dem Eigenraum

ℝ v

.
Dann ist 1 ein (n-1)-facher Eigenwert von

φ

mit dem Eigenraum

E = {v}^{⊥}

.

Beweis:

v

ist ein Eigenwert von

φ

zum Eigenwert

- 1,

denn

φ (v) = v - 2 \frac{〈 v, v 〉}{〈 v, v 〉} v = v - 2 v = (- 1) v

.
Daher ist

ℝ v

Teilmenge des Eigenraums von

φ

zum Eigenwert

- 1

.

Sei

w \in E = {v}^{⊥}

ein beliebiger Vektor in der Spiegelebene. Dann ist

φ (w) = w - 2 \frac{〈 w, v 〉}{〈 v, v 〉} v = w - 2 \frac{0}{〈 v, v 〉} v = w = 1 w,

so dass

w

im Eigenraum von

φ

zum Eigenwert 1 liegt.
Daher ist

E = {v}^{⊥}

Teilmenge des Eigenraums von

φ

zum Eigenwert 1.

Da

ℝ v + {v}^{⊥}

bereits der gesamte Vektorraum

ℝ^{n}

ist, folgt dass

ℝ v

bzw.

{v}^{⊥}

nicht nur Teilmengen der Eigenräume sind, sondern jeweils bereits der ganze Eigenraum. Und es gibt keine weiteren Eigenvektoren zu anderen Eigenwerten.

ℝ v

ist eindimensional.

{v}^{⊥}

hat nun nach Dimensionsformel die Dimension

{dim}_{ℝ} ({v}^{⊥}) = {dim}_{ℝ} (ℝ^{n}) - {dim}_{ℝ} (ℝ v) = n - 1

.
Für die (algebraischen) Vielfachheiten

n_{1}

von 1 und

n_{- 1}

von

- 1

muss nun

n_{1} + n_{- 1} = n

und

1 \leq n_{1} \leq n - 1

und

1 \leq n_{- 1} \leq 1,

weshalb

n_{1} = n - 1

und

n_{- 1} = 1

ist.

\\\\
Man kann sich natürlich hier auch zu der gegebenen Abbildung

x \mapsto A x

bzw. Matrix A das charakteristische Polynom und dessen Nullstellen ausrechnen, um dann so erkennen, dass die Eigenwerte

\pm 1

sind.

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