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Gleichung der Normalen gesucht

Schüler Fachgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichung Normale

Minijuh aktiv_icon

16:35 Uhr, 03.10.2011

Hey,

hab hier die aufgabe

f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}

Die Aufgabe ist: "Wie lautet die Gleichung der Normalen an der Stelle

x =

2?"

in der vorherigen Aufgabe habe ich zu einer anderen Funktion bereits die Gleichung genannt, jedoch wurde dabei die Gleichung der Tangente gesucht und nicht der Normalen.

Wo ist nun der Unterschied hierbei ? Tangente und Normale?
Und wie gehe ich vor? Bei der Tangente habe ich einfach

y =

+ b

befolgt ..

Bitte um hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

gaubes aktiv_icon

16:50 Uhr, 03.10.2011

eine tangente tangiert ( berührt) die funktion in einem punkt, in diesem fall

x = 2

eine normale verläuft senkrecht ( im 90° winkel ) zur tangente.
wenn

t =

mx+b , dann ist

n = - \frac{1}{m} x + b

t

für tangente und

n

für normale.

du gehst vor, indem du erst die erste ableitung bildest, dann deine tangentengleichung aufstellst und diese dann wie oben beschrieben in eine normalengleichung umwandelst.

DmitriJakov aktiv_icon

17:00 Uhr, 03.10.2011

Vorsicht! die Normale hat dann ein anderes

b

. Schreib lieber so:

n (x) = - \frac{1}{m} \cdot x + c

Minijuh aktiv_icon

17:05 Uhr, 03.10.2011

Danke schonmal!

Aber nochmal langsam, die erste Ableitung war jetzt kein problem,

\frac{3}{2} x^{2} - 2 x

richtig?
Wie stell ich nun auf meine Aufgabe bezogen die Tangentengleichung auf?
Kannst du mir das mal vormachen?

DmitriJakov aktiv_icon

17:08 Uhr, 03.10.2011

Nicht ganz, die Ableitung ist

f' (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 x

Jetzt sollst Du die Steigung an der Stelle

x = 2

bestimmen. Also setzt Du in die erste Ableitung

x = 2

ein und bekommst so die Steigung der Funktion.

Minijuh aktiv_icon

17:13 Uhr, 03.10.2011

Stimmt,

- 4 x

:-)

f' (2) = \frac{3}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 = - 2

also

m 1 = - 2

? und dann ?

DmitriJakov aktiv_icon

17:19 Uhr, 03.10.2011

Die Tangente hat bei

x = 2

die Steigung

m = - 2

. Die Normale hat die Steigung

- \frac{1}{m}

.

Jetzt musst Du nur noch den Punkt feststellen, durch den die Normale laufen soll. Also musst Du den y-Wert berechnen, der zu

x = 2

gehört.

Minijuh aktiv_icon

17:33 Uhr, 03.10.2011

Okay, dann ist die Steigung der Normalen

0,5,

- \frac{1}{- 2} = 0,5

.

setz ich den wert

x = 2

einfach in die grundfunktion

f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}

ein ?
Also

f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} = - 4

DmitriJakov aktiv_icon

17:47 Uhr, 03.10.2011

Gut, nun hast Du die Steigung der Normalen

\frac{1}{2}

und Du hast einen Punkt der Normalen

P (2; - 4)

n (2) = - 4 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 + c = - 4

Nach

c

auflösen und Du hast alle Zutaten für die Normalengleichung beisammen :-)

Minijuh aktiv_icon

17:59 Uhr, 03.10.2011

Kannst du das evtl mal kontrollieren ? Denn die vorgegebene Lösung ist

y = - 0,5 x - 5

sehe ich grade.

Bin jetzt aus dem Konzept

: (!

DmitriJakov aktiv_icon

18:04 Uhr, 03.10.2011

Die Musterlösung ist falsch. Die Normale hat die Gleichung

y = \frac{1}{2} x - 5

Minijuh aktiv_icon

18:11 Uhr, 03.10.2011

Wie komme ich denn zu den

- 5

? Beim nach

c

auflösen? Zeigst du mir das mal eben bitte?:-)

DmitriJakov aktiv_icon

18:17 Uhr, 03.10.2011

Also bitte, das wirst Du doch wohl noch schaffen:

\frac{1}{2} \cdot 2 + c = - 4

Minijuh aktiv_icon

18:22 Uhr, 03.10.2011

\frac{1}{2} \cdot 2 - 5 = - 4

schon okay,
aber wieso wird es denn dann

y = \frac{1}{2} x - 5

aufgeschrieben als Ergebnis? Oder verwirrt mich das grad nur mit dem

c,

welches eigentlich

b

ist in der y=mx+b formel?

Denke aber, ich habs jetzt verstanden, zumindest weiß ich wie ich auf das Ergebnis komme, da ich die Steigung ja habe und das

C

durch auflösen

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