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Gleichung einer Funktion herleiten
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Funktion 3. Grades, Gleichungen
 
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Hallo, wir haben heute eine Hausaufgabe zu einem Thema aufgekriegt, das ich und einige weitere Personen aus meinem Kurs im vorigen Jahr nicht durchgenommen haben: ,,Der Graph einer Funktion 3.Grades schneidet die x-Achse im Nullpunkt und bei Ein lokas Minimum liegt bei . Berechnen Sie die Gleichung der Funktion sowie die Gleichung der Tangenten in den angegebenen Nullstellen.'' Normale Ableitungen kann ich zwar bilden, somit also auch Extrema berechnen, allerdings nur andersrum, . aus einer Funktion heraus. Nicht jedoch umgekehrt, so wie es die Aufgabe verlangt. Ich habe mir daran schon den Kopf zerbrochen, sehe allerdings keinen Lösungsweg. Könnte mir das vielleicht jemand etwas ausführlicher erklären? Wäre sehr dankbar dafür! Liebe Grüße, Topia Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Unter dem Stichwort "Steckbriefaufgabe" findest du sehr viele Beispiele und Übungsaufgaben, sowohl bei google, als auch hier auf der Seite.
Grundsätzlich funktioniert es so, dass man sich eine ganz allgemeine Funktion aufstellt, in deinem Fall eine Funktion dritten Grades: f(x)=ax³+bx²+cx+d Nun muss man durch die Bedingungen herausfinden, welche Werte haben. Dabei ist meist das schwierigste, alle Informationen aus dem Text herauszulesen und es in Gleichungen zu "übersetzen". In deinem Fall: Der Graph einer Funktion 3.Grades schneidet die x-Achse im Nullpunkt und bei (ii) Ein lokales Minimum liegt bei . (iii) (iv) größer Sind soweit alle "Übersetzungen" klar? Dann einsetzen. Zunächst allgemein die Ableitungen bestimmen: f'(x)=3ax²+2bx+c f''(x)=6ax+2b Nun deine Bedingungen bis (iv) richtig einsetzen: Schaffst du's? Daraus kannst du dann dein bestimmen. |
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Okay, also bis dato habe ich alles verstanden. Muss ich nun . wiefolgt einsetzen: also ? und bei ? aber wie schließe ich darauf jetzt auf oder c? und bei dem Punkt ? aber wohin muss ich das . auflösen? |
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Habe mir das nochmal genauer angeschaut: sind die Gleichungen, die man aus den Angaben ziehen kann folgende? : bzw. ist das bislang richtig so? aber wie komme ich jetzt auf die fehlenden Unbekannten? |
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Jetzt hast du ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten - das kann man lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additions- bzw. Subtraktionsverfahren. In diesem etwas umfangreicheren Fall wird man das Additions- bzw. Subtraktions- verfahren anwenden. |
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´Deine 3. Gleichung muss lauten 0=-27a+9b-3c+d=-27a+9b-3c da d=0 |
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Hmmm, aber die 3.Gleichung leitet sich doch aus dem Minimum ab.
also da ist also oder habe ich da irgendwas übersehen? Das muss man doch eigentlich in die Ausgangsgleichung f(x)=ax^3+bx^2+cx+d einsetzen, oder?? |
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Tschuldigung, ich meinte die 2.Gleichung. |
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okay, also sind meine 4 Gleichungen: das stimmt nun also?^^ Dann habe ich ja 3 Gleichungen für 3 Unbekannte und das müsste ja eigentlich reichen, oder? Ich habe mir schon einiges über das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren durchgelesen, es aber nie ganz verstanden. Könnte mir das vielleicht jemand an diesem Beispiel erläutern? Wäre echt nett |
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in deiner 2. Gleichung muss es -3c heißen und lass die 6 in deiner 3. Gleichung als -6 auf der linden Seite allein stehen |
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Ups, mein Fehler... Wie geht man nun weiter vor? |
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Jetzt geht man ganz systematisch vor Wir addieren die 2. gleichung und die 3. geeignet, so dass c heraus fällt - dies nennen wir Gleichung 5 wir addieren die 3. und 4. geeignet, sodass c herausfällt - nennen dies unsere 6.Gleichung die 5. und die 6. Gleichungen haben nur noch a und b als unbekannte ich addiere die 5. und 6. geeignet, dass b herausfällt - nennen dies unsere 7.Gleichung diese hat nur noch a als einzige unbekannte, diese rechnen wir aus dieses a setzen wir in die 5. oder 6. ein und berechnen b usw. |
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Wenn man die 2.und 3.Gleichung erst einmal untereinander schreibt, sieht das wiefolgt aus:
addiert man diese, kommt dabei heraus: also b=ein Drittel oder ist das falsch? |
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das ist fast richtig b=-1/3 |
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Normalerweise hätten wir hier eine Gliehcung in a und b herausbekommen. Multipliziere deine 4. Gleichung mit -3 und addiere diese neue Gleichung zur Gleichung 3. dies ist jetzt eine Gleichung in a und b; wir nennen sie Gleichung 6 |
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Okay, jetzt habe ich einfach noch die anderen Gleichunge so umgestellt, dass ich schließlich folgende Werte errechnet habe:
a=ein Sechstel b=-ein Drittel (tut mir Leid, ich weiß nicht wie ich die Brüche anders schreiben kann). die Gleichunge müsste also lauten: f(x)=ein Sechstel ein Drittel Im Graphen auf dem Taschenrechner werden die angegebenen Nullstellen geschnitten und auch das Minimum passt. Vielen Dank für eure Hilfe! Liebe Grüße, Topia. |
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Du musst als letztes noch die 2. Ableitung bilden und x=3 einsetzen, ob f´´(3)>0 ist. Das ist es und so haben wir in T(3;-6) einen Tiefpunkt vorliegen. Und es fehlen noch die Gleichungen der Tangenten in den Nullstellen. |
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Die Tangentengleichungen müssten wiefolgt lauten Für die Nullstelle Für die Nullstelle die Steigungen habe ich jeweils über den y-Wert der 1.Ableitung ermittelt. Es gibt natürlich noch eine 3.Nullstelle, aber die Aufgabe verlangt die Formel der daran anliegenden Tangente nicht. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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