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Gleichung einer Tangente durch Kurvenpunkt

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Tags: Gleichungen, Graph, Tangente

 
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arabatto

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13:00 Uhr, 15.03.2009

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Hallo miteinander, ich suche für meine Tochter ein wenig Hilfestellung für die u.g. Aufgabe. Am besten den kompletten Lösungsweg. Vielen Dank an Alle, die uns hier weiterhelfen können.....

Man bestimme die Gleichung der Tangente durch den Kurvenpunkt P(1/?) an den Graphen der Funktion f:x→ y=x³-2x+1; xER. Hat die Tangente mit Gvf noch einen Schnittpunkt gemeinsam? Entscheide die Frage durch probierendes Einsetzen! Zeichne sodann Graph und Tangente in einem geeigneten Intervall, das den Ursprung enthält!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Akonia

Akonia

13:21 Uhr, 15.03.2009

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f(x)=x3-2x+1

bei tangentenbestimmung benötigt man die erste ableitung, da diese ja die steigung der tangente an der stelle x angibt:

f'(x)=3⋅x2-2

nun ist nach der tangente im punkt P(1|?) gefragt, die steigung dieser tangente (an der stelle x=1) ist also:

f'(1)=3-2=1


nun gibt es verschiedene möglichkeiten die tangente aufzustellen.
entweder man nimmt die tangentengleichung aus der formelsammlung:

t:y=f'(x0)⋅(x-x0)+y0

wobei hier x0 und y0 die koordianten von P sind, also x0=1 und y0=0 (erhält man indem man 1 in die ausgangsfunktion einsetzt).

t:y=1⋅(x-1)+0

die tangentengleichung lautet also:
y=x-1


der andere weg, wenn man die tangentengleichung nicht weiß:

eine gerade hat die gleichung:
y=m⋅x+t
(m:steigung, t: achsenabschnitt)

m=1 wurde bereits berechnet, außerdem liegt P auf der geraden, also x=1,y=0

0=1⋅1+t
t=-1

→y=1⋅x-1

dies ist die gleichung der tangente [muss jeder selbst wissen welcher weg ihm besser liegt]


nun zur frage, ob die tangente mit f noch einen schnittpunkt besitzt.

also funktion mit tangentengleichung gleichsetzen:

x3-2x+1=x-1

x3-3x+2=0

es soll durch probieren entschieden werden, naja einfach mal ein paar werte einsetzen (x=-2 ist die lösung).


das zeichnen sollte kein problem darstellen.
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