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Gleichung in R³

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Tags: Vektorraum

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08:26 Uhr, 04.09.2009

Hi, kann mir jemand helfen? habe heute eine lange Leitung

Bestimme eine Gleichung der Form ax+by+cz=d deren Lösungsmenge

L

in R³ die Punkte

P (1, 2, 3), Q (1, - 1, 0)

und

R (3, 2, 1)

enthält.

habe heute keine idee...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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08:31 Uhr, 04.09.2009

guten morgen,

du hast 3 punkte gegeben. aus denen kannst du eine ebene bilden. nimm einen stützpunkt

z . b

. punkt

p

. nun musst du zu diesem stützpunkt noch 2 vektoren bilden, die dir deine ebene aufspannen. du musst also erstmal die koordinatengleichung der ebene aufstellen in der form

x^{\to} = P + r \cdot (Q - P) + s \cdot (R - P)

.
wenn du das gemacht hast, können wir weiter machen.

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09:05 Uhr, 04.09.2009

Sorry, kannst du es mir mal vorrechnen?

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09:18 Uhr, 04.09.2009

kennst du dich in der vektoranalysis nicht so gut aus?

also $E : \vec{x} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ 3 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 - 1 \\ - 1 - 2 \end{matrix} \\ 0 - 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} 3 - 1 \\ 2 - 2 \end{matrix} \\ 1 - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ 3 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix} \\ - 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ - 2 \end{matrix})$

dies ist die drei-punkte-form oder koordinatenform der ebenengleichung.

P ist dein stützpunkt und r und s sind deine beiden vektoren, die dir die ebene aufspannen.

soweit klar? schau mal hier ist ein gutes bild dazu:

http//www.schule-studium.de/Mathe/images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Ebene-Parametergleichung-Normalenform1.jpg

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09:20 Uhr, 04.09.2009

danke dir, habe leider alles vergessen.

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09:21 Uhr, 04.09.2009

bin voll aus deer übung, wenn du mir hilfst, bin ich dir sehr dankbar

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09:24 Uhr, 04.09.2009

ich glaube, ich weiss, wie ich weiter machen soll

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09:25 Uhr, 04.09.2009

ich helf dir, wir stehen das gemeinsam durch. aber wir sind nich lange nicht fertig.

um von der koordinatenform zur normalenform ax+by+cz=d zu kommen, musst du nun von den beiden richtungsvektoren

r

und

s

das kreuzprodukt bilden, wodurch du den normalenvektor der ebene erhälst. dieser normalenvektor steht, wie im bild, das ich grad gepostet habe, genau senkrecht auf der ebene und gibt dir somit exakt die ebene wider. kannst du den normalenvektor alleine berechnen?

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09:29 Uhr, 04.09.2009

? also von

r

und s?

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10:01 Uhr, 04.09.2009

naja, genau genommen sind

r

und

s

nur die parameter zu den richtungsvektoren

u^{\to}

und

v^{\to},

aber ich nenne sie

r

und

s,

damit du nicht durcheinanderkommst. also

u^{\to} X v^{\to}

musst du rechnen.

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10:36 Uhr, 04.09.2009

also

(0, - 3, - 3)

kreuz

(2, 0, - 2)

ist das richtig?

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10:39 Uhr, 04.09.2009

n u,

ja doch^^

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10:47 Uhr, 04.09.2009

- 3 \cdot - 2 - 0 = x

- 3 \cdot 2 - 0 = y

0 + 3 \cdot 2 = z

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11:00 Uhr, 04.09.2009

also hast du den normalenvektor

(6, - 6,6)'

. sehr gut. nun sind diese einträge die koeffizienten

a, b

und

c

deiner normalen form ax+by+cz=d. also hast du die normalen form

6 x - 6 y + 6 z = d

.
die variable

d

erhälst du nun, wenn du den stützpunkt

P

in diese gleichung einsetzt.
ist das verständlich?

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11:55 Uhr, 04.09.2009

6 x - 6 y + 6 z = d

6 - 12 + 18 = d

12 = d

6 x - 6 y + 6 z = 12

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12:04 Uhr, 04.09.2009

genau, so stimmt das.

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12:21 Uhr, 04.09.2009

Danke du bist ein schatz...

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