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Gleichung in Restklassenring umstellen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Euklidischer Algorithmus, inverses element, Ring

anonymous

15:45 Uhr, 27.03.2017

Hallo,
ich soll folgende Menge im Restklassenring bestimmen:

{x \in ℤ / 297 ∣ x \cdot 288 = 129 in ℤ / 297}

Um die Gleichung umzustellen habe ich also versucht das inverse Element zu 288 mit dem Euklidischen Algorithmus zu finden.

28 8^{- 1}

Also

288 b \equiv_{297} 1

ergibt

288 b - 297 a = 1

da der größte gemeinsame Teiler von 288 und 297 aber 9 ist und 9 offensichtlich nicht 1 teilt gibt es keine Lösung.

Versuche ich ein inverses Element zu 126 zu finden komme ich wieder auf eine Gleichung mit zwei Unbekannten, die nicht lösbar ist. Also kann die Gleichung ja nicht nach x umgestellt werden.

Also müsste das Ergebnis die leere Menge sein. Das scheint aber nicht zu stimmen, denn wenn ich mit Excel einige Zahlen teste finde ich Lösungen. (zum Beispiel 19 und 52). Wo liegt also mein Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

15:51 Uhr, 27.03.2017

vielleicht hilft dir

288 = - 9 mod 297

und 9 =ggT, damit auch

- 9

Gruß ledum

anonymous

16:07 Uhr, 27.03.2017

Vielen Dank für die Antwort.

Leider komme ich damit nicht wirklich weiter. Wenn ich versuche damit irgendwas zu machen komme ich wieder zu der Gleichung mit 2 Unbekannten, die mit den Mitteln aus meiner Vorlesung nicht lösbar ist.

ledum aktiv_icon

18:54 Uhr, 27.03.2017

Hallo

19 \cdot 288 - 18 \cdot 297 = 126

nicht

129

52 \cdot 288 - 50 \cdot 297 = 126

wie kommst du auf die Lösungen?

x*9*32=129mod

297

und 9*33=0mod

297

also

x \cdot 9 \cdot 32 \cdot 33 = 0

129 \cdot 33 = 9 \cdot 11 \cdot 43 \neq 0

also keine Lösung.
Gruß ledum

anonymous

01:16 Uhr, 30.03.2017

Ich habe mich da unglücklicherweise verschrieben. Es muss

{x \in ℤ / 297 ∣ x \cdot 288 = 126 in ℤ / 297}

heißen. Dann gilt auch

19 \cdot 288 - 18 \cdot 297 = 126

bzw.

19 \cdot 288 mod 297 = 126

und 19 ist folglich eine Lösung.

Leider weiß ich immer noch nicht, wie man das anders als mit Ausprobieren lösen kann.

ledum aktiv_icon

17:47 Uhr, 30.03.2017

Hallo
jetzt . da

126

durch 9 Teilbar ist, und

288 = - 9

musst du doch Nut denn ggT(288,297)=9 mit euklidische als Linearkombination schreiben um das Inverse zu 9 zu finden?
anderer Weg

x \cdot 9 \cdot 32 = 9 \cdot 14 mod 297

kürzen durch 9 und 2

x \cdot 16 = 7 mod 297

jetzt hast du ggT 1 und kannst das Inverse zu

16

findender du siehst direkt wegen

16 \cdot 18 = 288

dass

16 \cdot 19 = 7

Gruß ledum

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