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Gleichung in ZZ_p

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Elementare Zahlentheorie, Kongruenz

 
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Starwick

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18:15 Uhr, 05.06.2016

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Sei p eine Primzahl.

Die Gleichung x² ≡ 2mod(p) ist nicht für jede Primzahl p lösbar.
Was muss p für Eigenschaften besitzen, da mit die Gleichung lösbar ist?

Für p=3,5 gibt es keine Lösung, dagegen besitzt die Gl. für p=7 eine Lösung (x≡3).
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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mihisu

mihisu aktiv_icon

21:54 Uhr, 05.06.2016

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Genau dann wenn die Gleichung x2≡2modp lösbar ist, nennt man 2 einen quadratischen Rest modp.

2 ist genau dann ein quadratischer Rest modp, wenn das Legendre-Symbol (2p) gleich 1 ist.
Dabei ist nach dem 2. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz (wenn p ungerade Primzahl ist):
(2p)=(-1)p2-18

Nach diesem Ergänzungssatz ist also (für ungerade Primzahlen p):
(2p)=1, wenn p≡±1mod8
(2p)=-1, wenn p≡±3mod8

Das sollte dir nun weiterhelfen.
Starwick

Starwick aktiv_icon

07:37 Uhr, 06.06.2016

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Herzlichen Dank für Deine konstruktive Antwort, die Theorie der quadratischen Reste ist sehr schön:

ergänzend sei von mir noch hinzugefügt: Die obige Kongruenz ist genau dann lösbar, wenn Primzahl p die Form 1+8⋅n oder -1+8⋅m hat.

7,17,23,31,.......
Ein wunderschönes handhabbares Kriterium.

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