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Gleichung komplexe Zahlen - unlösbar?

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Akiragirl aktiv_icon

19:29 Uhr, 17.10.2014

Hallo an alle Forenuser,

ich bin Tutorin für Mathematik für Erstsemester an meiner Hochschule. Nun hatten meine Studis eine Frage zu einer Aufgabe und ich muss sagen, entweder stehe ich total auf dem Schlauch oder die ist garnicht zu lösen (zumindest nicht mit den Skills, die Erstis haben können)?

Die Aufgabe lautet:

\frac{z}{5 + 5 i} = \frac{1}{i \cdot z + 4 - i}

Welche komplexen Zahlen

z

erfüllen die Gleichung?

Nun habe ich es auf verschiedenen Wegen versucht

. .

. mit der pq-Formel kürzt sich leider zu wenig weg, sodass am Ende in der Wurzel immer noch eine komplexe Zahl steht. Wurzelziehen von komplexen Zahlen wurde aber nicht behandelt.
Dann hatte ich noch den Ansatz, in Real- und Imaginärteil zu zerlegen. Durch viele schöne Umformungen kam ich bis

z^{2} - z = 5 - i

Wenn ich dann

z

als a+bi schreibe und davon ausgehe, dass alle Terme, die mit

i

multipliziert werden, zusammen

- 1

und alle anderen 5 ergeben müssen, bekomme ich ein Gleichungssystem mit diesen 2 Gleichungen:

a^{2} - b^{2} - a = 5

2 \cdot a \cdot b - b = - 1

Wenn ich nun versuche, dies aufzulösen, komme ich immer wieder in Polynome vierter Ordnung, die für Erstis ebenfalls nicht lösbar sind.
Stehe ich total auf dem Schlauch oder hat jemand vllt. noch einen anderen Ansatz für die Aufgabe? Was übersehe ich?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

19:51 Uhr, 17.10.2014

Umformen und Verwendung der pq-Formel ist wohl der gängigste Weg und liefert auch sehr einfache Ergebnisse.

rundblick aktiv_icon

19:52 Uhr, 17.10.2014

"
Durch viele schöne Umformungen kam ich bis

z^{2} - z = 5 - i

... .

\to

das mag zwar "schön" sein, ist jedoch wohl schon gewaltig falsch?

also:
"Die Aufgabe lautet:"

\frac{z}{5 + 5 i} = \frac{1}{i z + 4 - i}

einfachster erster Schritt führt auf

z \cdot (i z + 4 - i) = 5 + 5 i

\to

warum wohl?

\to

kannst du das weiter vereinfachen?

\to

welche quadratische Gleichung erhältst du also für

z

Akiragirl aktiv_icon

20:33 Uhr, 17.10.2014

Hmm

. .

. Anscheinend haltet ihr mich irgendwie für dumm oder so

. .

. Natürlich habe ich auch als allererstes den Weg über die pq-Formel versucht (hatte ich auch geschrieben), aber wie ich in meinem Eingangspost schon schrieb, führt das zu keinem sinnvollen Ergebnis.

z \cdot

(iz

+ 4 - i) = 5 + 5 i

iz^2

+ 4 z -

= 5 + 5 i

iz^2

+ 4 z -

- 5 - 5 i = 0

Alles einmal durch

i

teilen führt dann zu:

z^{2} + (\frac{4}{i}) \cdot z - z - (\frac{5}{i}) - 5 = 0

z^{2} - 4 i \cdot z - z + 5 i - 5 = 0

z^{2} + (- 4 i + 1) \cdot z + (5 i - 5) = 0

dann ist mein

p = - 4 i + 1

und mein

q = 5 i - 5

pq-Formel führt dann zu

z 1,2 = 2 i - \frac{1}{2} \pm \sqrt{4 i^{2} - 2 i + \frac{1}{4} + 5 - 5 i}

Der Term in der Wurzel lässt sich vereinfachen zu

\sqrt{\frac{17}{4} - 7 i}

Und wie ziehe ich jetzt daraus die Wurzel? Da fällt nichts weg und vereinfacht sich nichts.

rundblick aktiv_icon

20:42 Uhr, 17.10.2014

\cdot

bis zu dieser Zeile richtig:

z^{2} - 4 i z - z + 5 i - 5 = 0

nächste Zeile (und damit dann auch der Rest) ist falsch
Tipp: kontrolliere die Vorzeichen

und nebenbei dazu:
" aber wie ich in meinem Eingangspost schon schrieb,.."

\to

damit kannst du jetzt doch nicht kommen, denn dort hast du doch
eine ganz andere, falsche "schöne" quadratische Gleichung präsentiert -oder?

Akiragirl aktiv_icon

21:11 Uhr, 17.10.2014

Gibt es einen bestimmten Grund für deinen arrogant-aggressiven Tonfall?
Ich hatte im Eingangspost geschrieben, dass ich es mit zwei verschiedenen Ansätzen versucht habe. Der erste führte zur pq-Formel und brachte mich nicht weiter. Mit dem anderen Ansatz gelangte ich zu der quadratischen Gleichung. Und ob die richtig oder falsch ist kannst du unmöglich auf den ersten Blick gesehen haben.

Okay, also, ein falsches Vorzeichen führt nicht dazu, dass die Aufgabe irgendwie lösbarer wird.
Natürlich muss es

z^{2} + z \cdot (- 4 i - 1) + (5 i - 5)

heißen.
Dann ist

p = - 4 i - 1

und

q = 5 i - 5

macht

z 1,2 = 2 i + \frac{1}{2} \pm \sqrt{4 i^{2} + 2 i + (\frac{1}{4}) - 5 i + 5}

Dann bleibt in der Wurzel

\sqrt{\frac{5}{4} - 3 i}

Inwiefern macht es das jetzt besser? Ich kann nach wie vor keine Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen. Solange das

i

sich nicht rauskürzt, wird es schwierig.

Auf die quadratische Gleichung bin ich übrigens gekommen, indem ich zuerst den Bruch auf der linken Seite mit

(5 - 5 i)

erweitert habe. Der Bruch wird dann mit etwas Umstellen zu

\frac{z \cdot (1 - i)}{10}

Dann kommt man auf

(z (1 - i)) \cdot (i (z - 1) + 4) = 10

Damit habe ich dann weitergerechnet bis zu der quadratischen Gleichung am Ende.

rundblick aktiv_icon

21:54 Uhr, 17.10.2014

\cdot

\frac{z}{5 + 5 i} = \frac{1}{i z + 4 - i}

\to

die Idee mit dem Erweitern ist gut:
"
Dann kommt man auf (z(1-i))⋅(i(z-1)+4)=10
"
auch das ist richtig .. aber mit welchen wundersamen Kunststücken du nun auf jene
"quadratischen Gleichung am Ende" kommen willst ist schleierhaft..

2 . \to

" Ich kann nach wie vor keine Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen."
ja, denn das

\sqrt{}

-Zeichen ist eh in

C

nicht definiert..

also soweit sind wir:
du willst die Lösungen der Gleichung

{(z - \frac{1 + 4 i}{2})}^{2} = \frac{5 - 12 i}{4}

suchst also die zwei komplexen Zahlen

w,

für die gilt

w^{2} = \frac{5 - 12 i}{4}

und da hast du im Prinzip zwei Möglichkeiten vorzugehen :

\to

entweder (wie du zu Beginn schon erwähnt hast) mit dem Ansatz

w = a + b i

mit

a \in R

und

b \in R

und auch wenn

\to

pleindespoir wieder mal keine Ahnung hat (siehe unten folgenden post)

\to

ich denke, dass du das mit a und

b

problemlos schaffen wirst..

\to

oder : du schreibst

c = \frac{5 - 12 i}{4}

um in Polarform

| c | \cdot e^{i \cdot (φ + 2 k π)}

und rechnest dann weiter

w_{1,2} = \sqrt{| c |} \cdot e^{i \cdot (\frac{φ}{2} + k π)} . .

. mit

k = 0

bzw.

k = 1

usw..usw..

pleindespoir aktiv_icon

21:55 Uhr, 17.10.2014

bezüglich des Weges über die quadratische Gleichung wird man wohl kaum dieses da:
de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen
umgehen können.
Keine Ahnung, ob die "Erstis" das schön können dürfen.

Akiragirl aktiv_icon

23:24 Uhr, 17.10.2014

Naja, die hatten bisher erst 2 Vorlesungen zum Thema und in den Folien sehe ich jedenfalls nirgends etwas von Wurzelziehen komplexer Zahlen. Zugleich sollen sie mit ihrem Wissen aber diese Belegaufgabe lösen können. Deshalb gehe ich davon aus, dass es entweder irgendeinen anderen Weg geben muss oder der Prof einen Fehler gemacht hat.

Zu
"Dann kommt man auf (z(1-i))⋅(i(z-1)+4)=10
"
auch das ist richtig .. aber wie du nun auf die "quadratischen Gleichung am Ende"
kommen willst ist schleierhaft.."
Ich versuche es kurz zu umreißen:
(z(1-i))⋅(i(z-1)+4)=10
Ich multipliziere aus:

z (1 - i) \cdot i (z - 1) + z (1 - i) \cdot 4 = 10

Ich klammere

(1 - i)

aus:

(1 - i) \cdot (z \cdot i \cdot (z - 1) + 4 z) = 10

Ich teile durch

(1 - i) :

z \cdot i \cdot (z - 1) + 4 z = \frac{10}{1 - i}

Ich erweitere den rechten Bruch mit

(1 + i)

z \cdot i \cdot (z - 1) + 4 z = 5 + 5 i

i \cdot z^{2} - i \cdot z + 4 = 5 + 5 i

Ich teile einmal durch

i :

z^{2} - z + \frac{4}{i} = \frac{5}{i} + 5

Ich subtrahiere

\frac{4}{i} :

z^{2} - z = \frac{1}{i} + 5

z^{2} - z = - i + 5

So. Das ist also mein Lösungsweg zu der quadratischen Gleichung. Wie im Eingangspost beschrieben, kann ich nun die beiden

z

als (a+bi) schreiben und nach Realteil und Imaginärteil aufsplitten. Ich erhalte ein Gleichungssystem, dass sich aber beim Lösen leider zu einem Polynom vierten Grades auswächst:

a^{2} + b^{2} - a = 5

2ab

- b = - 1

b = - \frac{1}{2 a - 1}

a^{2} - \frac{1}{4 a^{2} - 4 a + 1} - a = 5

- \frac{1}{4 a^{2} - 4 a + 1} = 5 - a^{2} + a

(4 a^{2} - 4 a + 1) \cdot (5 - a^{2} + a) = 1

Und ab da höre ich auf, weil Polynome vierten Grades, die nicht symmetrisch sind und auch nicht durch Substitution lösbar (weil nur gerade Potenzen vorkommen) für Erstsemester auch nicht zu lösen sind.

pleindespoir aktiv_icon

23:45 Uhr, 17.10.2014

Nun sei mal nicht so übertrieben rücksichtsvoll - schliesslich lassen sich Polynome vierten Grades problemlos mit Cardano lösen ...

... wenn man am Wochendense nicht noch was anderes vor hat!

Akiragirl aktiv_icon

23:48 Uhr, 17.10.2014

Ich gehe halt immer davon aus, dass der Professor den Studenten nur Aufgaben für die Belege stellen wird, die sie auch mit dem Wissen, was sie bisher in der Vorlesung erworben haben

(+

Schulwissen) lösen können. Alles andere wäre mehr als unfair.
Ich kann mir höchstens noch vorstellen, dass dem Prof. die letzte Zeile der pq-Formel-Lösung einfach ausreicht und er das nicht weiter aufgelöst haben will

. .

. Komisch ist es trotzdem. Und ziemlich verwirrend für die Studenten.

Respon

23:50 Uhr, 17.10.2014

Eigentlich ist die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl ganz normaler Maturastoff. Warum soll man das nicht verlangen können ?

pleindespoir aktiv_icon

23:57 Uhr, 17.10.2014

Das Ergebnis ist mit ganzen Zahlen - also kann man vermutlich die "hochpotente" Gleichung durch "Erraten" eines relativ leicht zu erkennenden Linearfaktors aufzulösen beginnen und dann mit Polynomdivision schrittweise reduzieren auf eine quadratische.

---

Mach Dir hier nix aus dem gelegentlich etwas harsch erscheinenden Umgangston. Was erwartest Du denn von Leuten, die statt in der Kneipe Parties zu feiern das komplette Wochenende am PC verbringen und die böse Welt um sich herum vergessen, indem sie naturwissenschaftliche Foren unsicher machen? (zumindest sehe ich das für meine Person so - sozialpathologische Verhaltensauffälligkeit - ganz klar. Was Rundblick angeht, möchte ich da lieber nix sagen ... wir haben uns schon länger nicht mehr gegenseitig genervt und es wäre schön, wenns dabei bleibt)

anonymous

00:01 Uhr, 18.10.2014

In deiner Rechnung sind einige Fehler:
- Du multiplizierst aus um die Hälfte davon wieder zu klammern, es wäre sinnvoller nur

z

zu multiplizieren.
- In der zeile vor "ich teile durch i" wurde aus dem

4 z

plötzlich ein

z

.
-Ist z=a+ib, so ist z²=(a+ib)²=a²+2iab+i²+b²=a²-b²+2iab

Bei der eigentlichen Frage, ist das Ziehen der Quadrat deutlich einfacher und sollte jedem Mathestudenten zugemutet werden können.

Akiragirl aktiv_icon

01:17 Uhr, 18.10.2014

Hallo, vielen Dank für eure Antworten. Jedenfalls weiß ich jetzt, dass ich nicht irgendwo einen sehr einfachen "Trick" übersehen habe. Die Studenten sind übrigens keine Mathematikstudenten, sondern Informatikstudenten. Egal.

Zu:
"-Ist z=a+ib, so ist z²=(a+ib)²=a²+2iab+i²+b²=a²-b²+2iab"
Das ist mir durchaus klar. Wenn ich

z^{2} - z = - i + 5

als Endergebnis habe, komme ich demnach dann auf:
a²-b²+2iab-a-bi=5-i
Jetzt zerlege ich in Realteil und Imaginärteil. Alles, was links vom = steht und wo ein

i

dranpappt, muss ja am Ende

- 1

ergeben. Alles, wo kein

i

dranpappt, muss 5 ergeben. Somit komme ich auf
a²-b²-a=-1
2iab-bi=5
Wo genau war da jetzt der Fehler?

Bei der Zeile darüber hast du Recht. Ist mir irgendwie durchgerutscht.

pleindespoir aktiv_icon

01:29 Uhr, 18.10.2014

Also ich hab das jetzt drei Mal versucht, das "zu Fuss" durchzurechnen und hab mich jedesmal an irgendeiner Stelle verfummelt.

Bei Deiner Im-Gleichung fehlt soweit ich mich erinnern kann, noch ein i auf der rechten Seite.
Der Gag soll ja sein, dass man das i wegkürzen kann, damit man einen Real-Wert für b bekommt ... einige Stunden später.

Meine Versuche habe ich inzwischen gelöscht, weil das schlicht nicht sinnvoll ist, das so zu berechnen. Ausser man bekommt für die Matheklausur 12 Stunden Zeit.

anonymous

09:14 Uhr, 18.10.2014

"Wo genau war du jetzt der Fehler"
Bei dir oben steht +b² nicht -b²

Und diese Gleichung ist auch nicht so einfach zu lösen, liegt auch daran, dass es nicht die gefragte ist, siehe meine erste Anmerkung.

Die ursprüngliche Gleichung ist äquivalent zu
iz²+(4-i)z-5-5i=0
Darauf Mitternachtsformel anwenden, d.h. man muss die Wurzel aus der Diskriminante ziehen, diese ist 12i-5. Beachte: die Norm ist eine Quadratzahl, daher kann man drauf hoffen, dass die Wurzel ganzzahligen Real- und Imaginärteil hat.
(Was x² +y²=13 zur Folge hätte, was nur wenige Lösungen in den natürlichen Zahlen hat; der Ansatz wäre mir für Informatik-Erstsemester aber zu zahlentheoretisch.)
Es gilt für eine Wurzel x+iy:
x²-y²=(x+y)(x-y)=-5 und xy=6.
Von da sollte man die Lösung raten/sehen können. (das geht aber nur weil x,y ganzzahlig werden, also nicht mit der falschen Gleichung)

rundblick aktiv_icon

09:24 Uhr, 18.10.2014

sorry

\to

zu deiner "wunderbaren" Rechnung von oben

\to

sie ist FALSCH
siehe:

bis zu dieser Zeile ist es noch richtig:
"
Ich erweitere den rechten Bruch mit

(1 + i)

z⋅i⋅(z-1)+4z=5+5i
"
und jetzt kommt der Fehler:
"

i z^{2} - i z + 4 = 5 + 5 i

... ... ... ...

^.

. bei der 4 steht oben doch noch der Faktor

\to z

dabei ?! (also

4 \cdot z)

deshalb kannst du alle deine folgenden Bemühungen getrost vergessen..
(ab der erwähnten Stelle ist dann der Rest halt falsch)

und genau darauf hat dich captainarcher oben auch schon hingewiesen

und welche (richtige) quadratische Gleichung zu lösen wäre, habe ich dir längst schon ganz oben aufgeschrieben..

na ja..

Akiragirl aktiv_icon

13:01 Uhr, 18.10.2014

Wow. Ich bin echt regelmäßig in Foren unterwegs, aber ein solches Maß an Überheblichkeit und Unfreundlichkeit ist mir selten begegnet. War definitiv das erste und letzte Mal, dass ich mich hier blicken lasse. Könnt echt stolz auf euch sein.

anonymous

13:06 Uhr, 18.10.2014

@akiragirl: Wo bitte war ich denn überheblich oder unfreundlich?

Edit:
Bei genauerem Durchlesen des Threads geht die meiste Unfreundlichkeit und Überheblichkeit von dir aus:
Du bezichtigst Poster dich für dumm zu halten (weil sie dir widersprechen), bescheinigst einem Poster einen arrogant-aggressiven Tonfall und gehst die ganze Zeit davon aus selber keinerlei Fehler zu machen, gehst aber dafür davon aus, dass der Prof. einen Fehler gemacht hast.
Plus deinen letzten Post.

Akiragirl aktiv_icon

18:28 Uhr, 18.10.2014

Ich bezog mich vor allem auf die Postings von rundblick. Er hat natürlich jetzt nachträglich das meiste der sehr aggressiven bzw. herablassenden Bemerkungen editiert.
Natürlich wurde mein Tonfall in Reaktion darauf dann auch zunehmend gereizter. Man kann jemandem auch normal und freundlich sagen, dass er einen Fehler gemacht hat, ohne ständig zu schreiben: "Deine Gleichung ist aber völlig FALSCH!" oder "deine ach so "schöne" Gleichung ist falsch" usw. Davon gab es mehrere Bemerkungen.

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