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Gleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Gleichung., Lösen einer Gleichung

luk21as aktiv_icon

20:45 Uhr, 01.07.2022

Hallo zusammen,
ich komme bei der Gleichung auf dem Foto leider nie zu einer Lösung...
Kann mir einer vielleicht die Lösung der Gleichung geben? Vielen Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Respon

21:04 Uhr, 01.07.2022

D = - (x - 5) \cdot {(x + 1)}^{2}

- (x - 5) \cdot {(x + 1)}^{2} = 0

\Rightarrow

x = 5

oder

x = - 1

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 01.07.2022

.
"ich komme bei der Gleichung auf dem Foto leider nie zu einer Lösung..."

beantworte zuerst diese Frage:

\to

was hast du denn schon überlegt/gemacht, um zu einer Lösung zu kommen?

dann kann Mann dir "vielleicht die Lösung der Gleichung geben.."

ok?

\to ...

.

.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

11:55 Uhr, 02.07.2022

0 = | (\begin{matrix} 1 - x & 2 & 2 \\ 2 & 1 - x & 2 \\ 2 & 2 & 1 - x \end{matrix}) |

= (1 - x) \cdot | (\begin{matrix} 1 - x & 2 \\ 2 & 1 - x \end{matrix}) | - 2 \cdot | (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 - x \end{matrix}) | + 2 \cdot | (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 - x & 2 \end{matrix}) |

= {(1 - x)}^{3} - 4 \cdot (1 - x) - 4 \cdot (1 - x) + 8 + 8 - 4 \cdot (1 - x)

= (1 - x) \cdot ({(1 - x)}^{2} - 12) + 16

= (1 - x) \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 11) + 16

= x^{2} - 2 \cdot x + 5 - x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 11 \cdot x

= - x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 9 \cdot x + 5

(Man kann die Nullstelle

- 1

nun "gezielt raten" )

= (x + 1) \cdot (- x^{2} + 4 \cdot x + 5) = {(x + 1)}^{2} \cdot (x - 5)

Respon

12:31 Uhr, 02.07.2022

Dass

x = - 1

eine Lösung sein muss erkennt man auch ohne Rechnung.
Für

x = - 1

besteht die Determinante aus drei gleichen Zeilen und muss daher den Wert 0 haben.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

13:09 Uhr, 02.07.2022

Ja, stimmt. Für

x = - 1

besteht die Matrix nur aus Zweien,
der Rang ist also

1 < 3

und die Determinante verschwindet.

Und ähnlich kann man auch die Lösung

x = 5

finden:
Die Summe der drei Zeilen ist dann die Nullzeile,
und somit die Determinante Nullinger (der Rang ist

2)

| (\begin{matrix} - 4 & 2 & 2 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 2 & 2 & - 4 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 4 & 2 & 2 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) | = 0

.

Allgemein springt eine Regel raus (Räusper):
Hat eine

n \times n -

Matrix in der Hauptdiagonale die Einträge

a - x

und sonst

b

(robusterweise

a, b \in R),

verschwindet die Determinante für

x = a - b

und

x = a + (n - 1) \cdot b

.

Jetzt könnte man die Frage stellen, ob das immer auch schon alle

x

sind (wie oben

z . B .) . .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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