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Gleichung mit Cosinus als quotient umstellen

Schüler

Tags: Cosinus, Gleichung.

bamli3 aktiv_icon

22:07 Uhr, 18.05.2020

moin,

ich habe gerade ein kleines Problem undzwar das Gleichungssystem im Anhang nach Beta auf zu lösen.

ich habe nachdem ich die beiden gleichungen nach ar umgestellt habe das problem das auf einer seite:

(\frac{cos (w \cdot t_{2} - β)}{cos (w \cdot t_{1} - β)})

steht...

Ich weiss nicht wie ich das umformen kann damit es mir möglich ist die gleichung nach

β

auf zu lösen.

anonymous

22:37 Uhr, 18.05.2020

Hallo
Schön wäre es, wenn du von einer Gleichung sprichst, auch verständlich machst, wie die fragliche Gleichung denn nun lautet.

a)

Meinst du die folgende Gleichung?

η = a_{r} \cdot cos (ω \cdot t_{1} - β)

Falls ja, dann:

\frac{η}{a_{r}} = cos (ω \cdot t_{1} - β)

arccos(eta/a_r)

= ω \cdot t_{1} - β

β = ω \cdot t_{1} -

arccos(eta/a_r)

b)

Oder vielleicht hast du das Verhältnis der beiden Gleichungen gebildet:

\frac{η (t_{2})}{η (t_{1})} = \frac{cos (ω \cdot t_{2} - β)}{cos (ω \cdot t_{1} - β)}

Um Schreibarbeit zu sparen gebe ich dem ganzen mal den Namen

' N' :

N = \frac{η (t_{2})}{η (t_{1})} = \frac{cos (ω \cdot t_{2} - β)}{cos (ω \cdot t_{1} - β)}

N = \frac{cos (ω \cdot t_{2} - β)}{cos (ω \cdot t_{1} - β)}

Falls das gemeint ist, dann mittels Additionstheorem:

N \cdot cos (ω \cdot t_{1} - β) = cos (ω \cdot t_{2} - β)

N \cdot [cos (ω \cdot t_{1}) \cdot cos (β) - sin (ω \cdot t_{1}) \cdot sin (β)] = cos (ω \cdot t_{2}) \cdot cos (β) - sin (ω \cdot t_{2}) \cdot sin (β)

N \cdot cos (ω \cdot t_{1}) \cdot cos (β) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1}) \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (β)} = cos (ω \cdot t_{2}) \cdot cos (β) - sin (ω \cdot t_{2}) \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (β)}

sin (ω \cdot t_{2}) \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (β)} - N \cdot sin (ω \cdot t_{1}) \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (β)} = cos (ω \cdot t_{2}) \cdot cos (β) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1}) \cdot cos (β)

\sqrt{1 - {cos}^{2} (β)} \cdot [sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})] = cos (β) \cdot [cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]

ganze Gleichung quadrieren:

(1 - {cos}^{2} (β)) \cdot {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2} = {cos}^{2} (β) \cdot {[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2}

{[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2} - {cos}^{2} (β)) \cdot {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2} = {cos}^{2} (β) \cdot {[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2}

- {cos}^{2} (β) \cdot {[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2} - {cos}^{2} (β)) \cdot {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2} = - {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}

ganze Gleichung mal

(- 1) :

{cos}^{2} (β) \cdot {[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2} + {cos}^{2} (β)) \cdot {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2} = {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}

{cos}^{2} (β) \cdot {{[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2} + {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}} = {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}

{cos}^{2} (β) = \frac{{[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}}{{{[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2} + {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}}}

cos (β) = \pm \sqrt{\frac{{[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}}{{{[cos (ω \cdot t_{2}) - N \cdot cos (ω \cdot t_{1})]}^{2} + {[sin (ω \cdot t_{2}) - N \cdot sin (ω \cdot t_{1})]}^{2}}}}

bamli3 aktiv_icon

22:42 Uhr, 18.05.2020

ja verständlich.

I

η_{c} (t 1) - a_{i} \cdot cos (w \cdot t_{1}) = a_{r} \cdot cos (w \cdot t_{1} - β)

η_{c} (t 2) - a_{i} \cdot cos (w \cdot t 2) = a_{r} \cdot cos (w \cdot t_{2} - β)

das ist das gleichungssystem
die unbekannten sind

a_{r}

und

β

.
die möchte ich beide bestimmen.

Ich habe also beide Gleichungen nach

a_{r}

umgestellt und gleichgesetzt.
Dann wollte ich nach Beta auflösen und bin auf das oben erwähnte Problem gestoßen.

Aber danke soweit ich glaube mir hat das mit dem Additionstheorem einfach gefehlt weil dadurch kann ich ja

cos (β)

"ausklammern"

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