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Gleichung mit Mengen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussagenlogik, Begründung, Gleichungen, Mengenlehre

Technikfreak aktiv_icon

16:39 Uhr, 15.10.2016

Hey Leute,
ich studiere Bauingenieurwesen und wir haben diese Woche einige Aufgaben aufbekommen, bei denen ich Schwierigkeiten habe. Im nächsten Abschnitt findet ihr die Angabe und weiter unten sind meine bisherigen Lösungsvorschläge bzw. meine Ansatzpunkte. Wäre super, wenn ihr mir etwas zur Seite steht, damit ich den Vorgang verstehe.
Danke:-)

Angabe:
Untersuchen Sie, ob die nachfolgenden Gleichungen für alle
Mengen A,B,C,...,Ai(i∈I),Bj(j∈J) gelten. Stets ist eine Begründung zu geben; lautet die Antwort nein, dann in Form eines Gegenbeispiels.

5.A∪(B∩C) = (A∪B)∩C

7.(Ui∈IAi)∩B=Ui∈I(Ai∩B)

Hinweis:
Oft lassen sich die Mengengleichungen in logische Beziehungen zwischen Aus-
sagen der Form x∈A,x∈B etc. umformulieren.

Überlegungen:
5. B∩C beschreibt Elemente, die sowohl in

B,

als auch in

C

sind
A beschreibt alle Elemente in der Menge A

- \to d . f .,

dass der Ausdruck A∪(B∩C) alle x∈A und alle gemeinsamen x∈B,C beinhaltet

A \cup B

hingegen bezeichnet alle Elemente von A und alle Elemente von

B

gemeinsam
Im Ausdruck (A∪B)∩C heißt das also alle

x

die sowohl in dieser Vereinigung,
als auch in der C-Menge liegen kommen in Frage.

Meiner Meinung nach geht diese Gleichung nicht auf, da auf der rechten Seite nicht unbedingt alle Elemente aus der Menge A vorkommen sein müssen, was aber auf der linken Seite vorausgesetzt wird. Das wäre eine Begründung in Form eines Textes oder man zeigt es grafisch.
Aber in der Angabe steht in Form eines Gegenbeispiels. Nun habe ich Zahlen als Elemente für die Mengen eingesetzt.

A (1,2,3)

B (2,3,5)

C (2,3,9)

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C

(1,2,3) \cup (2,3) = (1,2,3,5) \cap (2,3,9)

1,2,3 = 2,3

So kann man auch beweisen, dass es nicht stimmt. Passt das oder müsste man das Beispiel anders angehen?

7. Bei diesem Beispiel habe ich weniger Ahnung. Ich weiß der linke Ausdruck bedeutet alle Elemente, die sowohl in der Menge

B,

als auch in der Vereinigung der

i

A-Mengen vorhanden sind. Auf der rechten Seite bin ich mir nicht sicher, aber wäre das keine leere Menge?
Da sind zuerst die Elemente, die sowohl in allen A-Mengen, als auch in

B

vorhanden sind, aber dann gilt das Veinigungszeichen nur für x∈Ai, wobei die Elemente aus

B

nicht dabei sind, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Apilex aktiv_icon

19:49 Uhr, 15.10.2016

"So kann man auch beweisen, dass es nicht stimmt. Passt das oder müsste man das Beispiel anders angehen?"
Das Gegenbeispiel das du gewählt hast reicht völlig aus der Satz ja für beliebige Mengen

A, B, C

gelten soll also auch für deine.

7)

" Bei diesem Beispiel habe ich weniger Ahnung. Ich weiß der linke Ausdruck bedeutet alle Elemente, die sowohl in der Menge

B,

als auch in der Vereinigung der

i

A-Mengen vorhanden sind. "

\to

ja

" Da sind zuerst die Elemente, die sowohl in allen A-Mengen, als auch in

B

vorhanden sind, aber dann gilt das Veinigungszeichen nur für x∈Ai, wobei die Elemente aus

B

nicht dabei sind, oder?"

\to

nein
Die Vereinigung geht über Schnitte

: A_{i} \cap B

. nennen wir also

A_{i} \cap B

für jedes

i \in I

(Schnitt

i) S_{i} = A_{i} \cap B

dann ist die rechte Menge

= ⋃_{i \in I} S_{i}

In Worten du nimmst aus jeden

A_{i}

die Elemente die auch in

B

enthalten sind und betrachtest dann die Vereinigung all dieser Elemente

\to

an sich kann man hier ähnlich wie bei 5 argumentieren dafür einfach mal die Ausage

7)

für I

= {1,2}

und

A_{1} = A

von

5), A_{2} = B

von

5)

und

B = C

von

5)

betrachten was ja damit

7)

allgemein gilt auch gelten muss

Technikfreak aktiv_icon

19:58 Uhr, 15.10.2016

Hey,
danke für deine Antwort. Habe ich das richtig verstanden, das bei

7)

somit durch die Vereinigung auch Elemente dabei sein könnten, die zwar in

A 1

und

B

vorhanden sind, aber nicht in

A 2

?

Danke

Technikfreak aktiv_icon

20:07 Uhr, 15.10.2016

Ich glaube, ich habe zu übereilt geantwortet, durch das Einsetzen habe ich gemerkt, dass es am Ende auf dasselbe hinauskommt. Das heiß doch, die 7. Aussage ist richtig, oder?

Apilex aktiv_icon

21:00 Uhr, 15.10.2016

ja 7 ist richtig und das lässt sich auch zeigen:
Das einsetzen sollte vorallen dazu dienen damit der Unterschied zu

5)

klar wird .

Beweis:

(\exists :

"es existiert ein "
Mann zeigt die Gleichheit von zwei Mengen

A, B

indem mann zeigt das

A \subseteq B

und

B \subseteq A \Rightarrow A = B

1)

(⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B \subseteq ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B)

sei

x \in (⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B

beliebig dann gilt

x \in B

und

x \in (⋃_{i \in I} A_{i}) \Rightarrow \exists j \in I

sodas

x \in A_{j} \Rightarrow x \in A_{j} \cap B

da aber

A_{j} \cap B \subseteq ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B) \Rightarrow x \in ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B) \Rightarrow

da jedes beliebige Element aus

(⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B \in ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B)

liegt gilt:

(⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B \subseteq ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B)

2)

zeige:

⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B) \subseteq (⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B

sei

x \in ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B)

beliebig

\Rightarrow \exists j \in I

sodass

x \in (A_{j} \cap B) \Rightarrow x \in B

und

x \in A_{j} \Rightarrow

x \in A_{j}

und

A_{j} \subseteq (⋃_{i \in I} A_{i}) \Rightarrow x \in (⋃_{i \in I} A_{i})

und aus

x \in B

und

x \in (⋃_{i \in I} A_{i})

folgt

x \in (⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B

\Rightarrow ⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B) \subseteq (⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B

x

beliebig in

⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B)

aus

1)

und

2)

folgt

⋃_{i \in I} (A_{i} \cap B) = (⋃_{i \in I} A_{i}) \cap B

Technikfreak aktiv_icon

21:56 Uhr, 15.10.2016

Vielen Dank für deine Unterstützung, ich glaube ich habe das Beispiel jetzt verstanden.

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