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Gleichung mit Modulo lösen?

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichungen, Modulorechnung, umstellen

mac-user09 aktiv_icon

12:21 Uhr, 26.12.2012

hallo,

Ich habe eine Gleichung mit Modulo, die ich nicht lösen kann.

\frac{d mod 14}{14} = \frac{d mod 30}{30}

d

gibt die Zeit in Minuten an, bei der zwei Rennwagen wieder in einer Linie stehen (beide auf unterschiedlichen Rennbahnen). Gestartet sind sie bei

t = 0

1. Da ich nun wissen möchte, zu welchen Zeiten (also alle Zeiten) sie wieder in Reihe stehen, wollte ich die Gleichung nach

d

umformen. Nur wie keine Ahnung?

2. Mit einer Werte Tabelle (für

y_{1} = 14 x

und

y_{2} = 30 x)

habe ich rausgefunden, dass nach

210

Minuten die beiden wieder in einer Reihe stehen. Das dürfte dann aber bedeuten, dass sie da wieder genau die Gleiche Position haben, wie am Anfang. Es dürften aber ja auch noch "Treffpunkte" geben, die irgendwo auf der Rennstrecke sind und nicht mit dem Startpunkt gleich sein, oder?
Wie komme ich an diese Punkte ran?

Danke und grüße
Mac

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mac-user09 aktiv_icon

09:31 Uhr, 28.12.2012

hat keiner eine Idee, wie ich die Gleichung lösen kann?

Atlantik aktiv_icon

10:02 Uhr, 28.12.2012

Wolfram bringt das raus:

http//www.wolframalpha.com/input/?i=%28d+mod+14%29%2F14%3D%28d+mod30%29%2F30

mfG

Atlantik

mac-user09 aktiv_icon

11:33 Uhr, 28.12.2012

danke für die Antwort.

Wow, dass kann Wolfram alpha?

Leider stimmt das nicht. Es wird ja ausgegeben, dass

d = 105 n

mit

n \in ℤ

Dann wäre aber für

n = 1 :

105 mod 14 = 7

und

105 mod 30 = 15

und leider ist ja 7≠15

Bei

n = 2

passt es dann wieder

210 mod 14 = 0

und

210 mod 30 = 0

und bei

n = 3

wieder nicht:

315 mod 14 = 7

und

315 mod 30 = 15

Kannst du mir das erklären?

Atlantik aktiv_icon

12:49 Uhr, 28.12.2012

Eigentlich müsste es dann

d = 420 n

mit

n \in Z

heißen.

420 mod 14 = 0

und

\frac{0}{14} = 0

420 mod 30 = 0

und

\frac{0}{30} = 0

mfG

Atlantik

mac-user09 aktiv_icon

13:34 Uhr, 28.12.2012

danke für die neue Antwort.

Warum denn

420 n

? Bei Wolfram aus deinem Link steht

105 n

.

Außerdem würde mich interessieren, wie ich die Gleichung nach

d

umstellen kann, um auf

420 n

oder was auch immer zu kommen.

Atlantik aktiv_icon

13:48 Uhr, 28.12.2012

Ich bin auf

420

gekommen, weil

420 = 30 \cdot 14

ist.

mfG

Atlantik

Bummerang

13:49 Uhr, 28.12.2012

Hallo,

irgendwie habe ich Probleme zu verstehen, welche Gleichung hier gelöst werden soll! Am Anfang heißt es:

\frac{d mod 14}{14} = \frac{d mod 30}{30}

Als Lösungen hast Du

d = 105

erhalten, errechnest dass

105 mod 14 = 7

und

105 mod 30 = 15

ist monierst, dass das aber nicht gleich wäre! Warum? Das soll laut der Aufgabenstellung auch gar nicht gleich sein, denn dort steht:

\frac{105 mod 14}{14} = \frac{105 mod 30}{30} \Leftrightarrow \frac{7}{14} = \frac{15}{30} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wo liegt da das Problem? Oder verstehe ich die obige Gleichung nur nicht?

Bummerang

14:25 Uhr, 28.12.2012

Hallo,

hier mal eine "Wolfram-freie" Lösung der ursprünglichen Aufgabe:

\frac{d mod 14}{14} = \frac{d mod 30}{30}

Hier schreiben wir mal der Einfachheit halber

x = d mod 14; 0 \leq x < 14

y = d mod 30; 0 \leq y < 30

Dann haben wir:

\frac{x}{14} = \frac{y}{30} | \cdot 210 =

kgV(14;30)

15 \cdot x = 7 \cdot y

Diese Gleichung ist im Bereich der ganzen Zahlen leicht zu lösen, denn man weiß, dass sowohl

15 \cdot x

als auch

7 \cdot y

ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 7 und

15

sein muß. Da das kgV(7;15)

= 105

ist, gilt folglich:

15 \cdot x = 105 \Rightarrow x = 7

7 \cdot y = 105 \Rightarrow y = 15

Das ergibt das Gleichungssystem:

d mod 14 = 7

d mod 30 = 15

Dummerweise sind 7 und

30

nicht teilerfremd, dann wäre die Lösung einfach zu finden, aber man kann sich behelfen:

d mod 14 = 7

heißt ja nichts anderes, als durch 7 teilbar zu sein aber nicht durch

14, d . h

. ungerade zu sein, also:

d mod 7 = 0

d mod 2 = 1

d mod 30 = 15

heißt ja nichts anderes, als durch

15

teilbar zu sein aber nicht durch

30, d . h

. ungerade zu sein, also:

d mod 15 = 0

d mod 2 = 1

Das ergibt das Gleichungssystem:

d mod 2 = 1

d mod 7 = 0

d mod 15 = 0

Das genügt den Anforderungen des chinesischen Restsatzes und kann mit jedem dafür geeigneten Algorithmus gelöst werden. Ich bevorzuge den iterativen Algorithmus, bei dem ich immer mit dem größten Teiler (hier also

15)

starte und dann abwärts (also danach 7 und die 2 zum Schluß) fortfahre:

0 erfüllt

0 mod 15 = 0

0 erfüllt auch

0 mod 7 = 0

0 erfüllt nicht

0 mod 2 = 1,

deshalb muß das Produkt aller "Vorgänger"

15 \cdot 7 = 105

addiert werden, so bleiben die Werte für ALLE bereits erfüllten Kongruenzen erhalten

0 + 105 = 105

erfüllt

0 mod 2 = 1

Damit ist

105

die kleinste Lösung. alle weiteren Lösungen ergeben sich als

105 + k \cdot 15 \cdot 7 \cdot 2

mit

k \in ℤ

mac-user09 aktiv_icon

10:08 Uhr, 29.12.2012

Hallo,

vielen Dank für die Lösung. Ich habe leider auf meinem Schmierpapier das Teilen durch

12

bzw.

28

vergessen, daher passte es nicht. Tut mir sehr leid...

Die Wolfram-freie Lösung konnte ich gut nachvollziehen. Vielen Dank dafür. Nun passt tatsächlich alles.

Grüße
Mac.

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