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Gleichung umformen

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Integration

Tags: Integration, Wahrscheinlichkeitsrechnung

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15:54 Uhr, 10.06.2021

Hallo,

ich habe untere beiden Formeln gegeben und frage mich, wie man zeigen kann, dass die wirklich identisch sind. es handelt sich dabei um keine vorgegebene Aufgabe, sondern eine Frage meinerseits.
Ich hab mich schon mal dran versucht, aber komme nicht weiter.

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Danke vorab!

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16:15 Uhr, 10.06.2021

Deine Formel stimmt nicht. Z.B.

g (x) = 1 / x^{3}

für

x > 1

und

0

sonst.
Dann

\int_{0}^{\infty} t g (t) d t = 1

und

\int_{0}^{\infty} (1 - \int_{0}^{t} g (x) d x) d t = 1 + \int_{1}^{\infty} (1 - \int_{1}^{t} d x / x^{3}) d t = 1 + \int_{0}^{\infty} (1 + 0.5 [x^{- 2}]_{1}^{t}) d t =

= 1 + \int_{0}^{\infty} (0.5 + 0.5 t^{- 2}) d t > 1

.

Aber es gilt Folgendes:
Da

\frac{d}{d t} (\int_{0}^{t} g (x) d x) = g (t)

gilt, kann man partiell integrieren:

\int_{0}^{b} t g (t) d t = \int_{0}^{b} t \cdot \frac{d}{d t} (\int_{0}^{t} g (x) d x) d t = [t \int_{0}^{t} g (x) d x]_{0}^{b} - \int_{0}^{b} (\int_{0}^{t} g (x) d x) d t = b \int_{0}^{b} g (t) d t - \int_{0}^{b} (\int_{0}^{t} g (x) d x) d t =

= \int_{0}^{b} (b g (t) - \int_{0}^{t} g (x) d x) d t

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17:10 Uhr, 10.06.2021

Danke, aber das gibt doch dann nicht das was zu zeigen ist, oder?

D . h

. es liegt ein Fehler in der Literatur vor?
Ändert vielleicht die Art der Funktion was.

g (t)

ist eine Wahrsch.-Dichtefunktion und

F (t)

ist die Verteilungsfunktion.

(z . B

. ist die Fläche unter der von dir angenommenen Funktion nicht

= 1,

oder).

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17:51 Uhr, 10.06.2021

"Ändert vielleicht die Art der Funktion was. g(t) ist eine Wahrsch.-Dichtefunktion und F(t) ist die Verteilungsfunktion. "

Ja. Deshalb ist es besser, immer alle Angaben zu machen und nicht uns hier rätseln zu lassen!

Den Beweis kann man z.B. hier finden:
math.stackexchange.com/questions/172841/explain-why-ex-int-0-infty-1-f-x-t-dt-for-every-nonnegative-rando

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12:26 Uhr, 13.06.2021

Hi, danke für deine Antwort. Ja, das hätte ich bereits zu Beginn erwähnen sollten.

Noch eine Frage zu deinem Link:
Ich habe mir mal die ersten beiden Antowrten angeschaut.

Zur ersten:
Da verstehe ich nicht ganz, warum gilt:

\int_{0}^{X} d t = \int_{0}^{+ \infty} 1_{X > t} d t

Wieso integriet man da plötzlich bis unendlich?

Zur zweiten:
Ich verstehe noch nicht ganz, wie die Formeln zu den Abbildungen gehören sollen. Hätte bei der ersten Formelt gedacht, dass da dF jeweils ein Flächenstück ist, das eine Breite

d t

und eine Höhe

f (t)

hat (würde ja auch mit der Gleichung hinter dem = übereinstimmen). Dann gewichte ich ja jeden Wert

t

mit der Auftretens-Wahrscheinlichkeit und summiere alle auf. Damit erhalte ich den Erwartungswert von

t

. Aber in der Abbilung darüber ist die Fläche horizontal eingezeichnet

d . h

. mit Höhe df und Breite

t

.
Zudem verstehe ich nicht, warum die zweite Abbildung der Fomel darunter entsprechen soll.

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Danke vorab :-)

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15:07 Uhr, 13.06.2021

"Zur ersten:
Da verstehe ich nicht ganz, warum gilt:
∫X0dt=∫+∞01X>tdt
Wieso integriet man da plötzlich bis unendlich?"

Weil es richtig ist.

1_{X > t} = 1

nur wenn

t < X

und

0

sonst. Damit

\int_{0}^{+ \infty} 1_{X > t} d t = \int_{0}^{X} 1_{X > t} d t = \int_{0}^{X} 1 d t

"Zur zweiten:
Ich verstehe noch nicht ganz, wie die Formeln zu den Abbildungen gehören sollen."

Ich würde die Abbildungen nicht überbewerten, sie sind bei der Integration nur eine Anschauungshilfe, und wie man sieht, ist diese Hilfe nicht immer hilfreich. Eigentlich braucht man sie gar nicht.

Aber wenn du es unbedingt wissen willst, dann musst du die Frage besser stellen, noch verstehe ich nicht, was du meinst. Ich weiß nicht mal, welche Abbildungen du meinst.

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16:28 Uhr, 13.06.2021

Hi, danke für deine Antwort.

Das mit dem Integral ist nun klar, mir war nicht bewusst wie das mit der 1 und dem

X > t

zu deuten ist. Die Gleichheit von

X > t

und

X \geq t

kommt daher, da

d t

gegen Null strebt und daher ein "Segment mehr" nichts verändert? Oder wie kann man das verstehen?

Dann meine Frage zu der nächsten Zeile

E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > t) d t

Ich kenne für den Erwartungswert folgende Formel:

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} t \cdot f (t) d t

Dabei ist

f (t)

die Wahrscheinlichkeitsdichte.

P (t)

entspricht ja der Wahrscheinlichkeit für den Wert

t,

die man ja durch Integrieren von

f (t)

über den Bereich

d t

der um

t

liegt erhält. Wie kommt man also auf die Formel aus dem Link.

Mit den Bildern meinte ich die Grafik in der zweiten Antwort, die nach dem Satz "Copied from Cross Validated / stats.stackexchange:" steht.

Ich befürchte das wird eine längere Sache mit mir :-D).

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16:37 Uhr, 13.06.2021

"Das mit dem Integral ist nun klar, mir war nicht bewusst wie das mit der 1 und dem X>t zu deuten ist. Die Gleichheit von X>t und X≥t kommt daher, da dt gegen Null strebt und daher ein "Segment mehr" nichts verändert? Oder wie kann man das verstehen?"

Nun, das stimmt nicht für jede ZV. Dazu muss gelten:

P (X = t) = 0

für alle

t

. Das stimmt nur wenn die ZV stetig ist, also eine Dichte hat. Dann stimmt es aber natürlich, denn

P (X = t) = \int_{t}^{t} f (z) d z = 0

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16:42 Uhr, 13.06.2021

"Dann meine Frage zu der nächsten Zeile

E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > t) d t

"

Gut,

0

unten ist nur deshalb da, weil ZV nur die nichtnegative Werte annimmt.
Allgemein gilt

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} P (X > t) d t

.

"Wie kommt man also auf die Formel aus dem Link."

Wenn du die Antwort genauer lesen würdest, würdest du sehen, dass die Formel in der ersten Antwort bewiesen wird. Und zwar folgt sie direkt aus

X = \int_{0}^{\infty} 1_{X > t} d t

. Man wendet halt Erwartungswert auf beide Seiten an und vertauscht dann

E

und

\int

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16:49 Uhr, 13.06.2021

"Hätte bei der ersten Formelt gedacht, dass da dF jeweils ein Flächenstück ist, das eine Breite dt und eine Höhe f(t) hat (würde ja auch mit der Gleichung hinter dem = übereinstimmen)."

Nein,

d F

ist die Differenz auf der

y

-Achse.
Du hast wohl ein Bild für Riemann-Integral im Kopf, wo man die

x

-Achse aufteilt.
Dieses Bild ist aber für Lebesgue-Integral, für welchen man die

y

-Achse aufteilt.
Hier sieht man den Unterschied: en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration#/media/File:RandLintegrals.png

"Zudem verstehe ich nicht, warum die zweite Abbildung der Fomel darunter entsprechen soll."

Da wird doch einfach

S (t) = 1 - F (t)

integriert. Die Funktion auf den Bildern ist nämlich genau

1 - F (t)

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17:00 Uhr, 13.06.2021

D . h

. man bildet:

\int_{0}^{\infty} E (1_{X > t}) d t

Und wie kommt man jetzt auf die Wahrscheinlichkeit

P (X > t)

1_{X > t}

ist ja nur

= 1

für Werte von

t

die

< X

sind und sonst

= 0

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17:05 Uhr, 13.06.2021

Also, dass

E (1_{X > t}) = P (X > t)

, musst du schon wissen. Generall

E (1_{B}) = P (B)

. Das ist übrigens auch offensichtlich.

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17:13 Uhr, 13.06.2021

Ok, dann schon mal danke bis hier her.

Dann werde ich zunähst mal meine klargewordenen Wissenslücken füllen und mich nochmal melden.

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10:07 Uhr, 15.06.2021

So, ich bin zurück.

1. Zu der Formel:

Ich denke ich hab die Formeln nun (einigermaßen) verstanden. Hab unten mal eine kleine Skizze angehängt wie man sich das mit de Erwartungswert und der Wahrscheinlichkeit (bei einem sehr einfachen Fall) vorstellen kann.

Gut, aber wie hilft mir das jetzt weiter um zu belegen, dass gilt:

\int_{0}^{\infty} t \cdot f (t) d t = \int_{0}^{\infty} R (t) d t

Das vordere ist ja der Ausdruck für den Erwartungswert von

t

das heißt

E (t)

. Das hintere ist die Überlebenswahrscheinlichkeit

R (t)

aufintegriert.

Wenn wir uns die Formel aus dem Beitrag nochmal anschauen:

E (t) = \int_{0}^{\infty} P (t > X) d X

So gilt:
- Beide linken Seiten sind identisch
- Die Wahrscheinlichkeit, dass

t

größer ist als

X

entspricht der Überlebenswahrscheinlichkeit für

R (t = X)

. Denn je größer

X

wird, desto kleiner wird die Überlebenswahrscheinlichkeit und auch die Wahrscheinlichkeit

P (t > X)

.

Kann man das so stehen lassen?
Wobei ich mich frage, wozu man dann das was nach "Likewise" steht noch braucht?

2. Zum Bild:
-folgt-

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11:27 Uhr, 21.06.2021

Leider verstehe ich deine Fragen nicht.

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11:31 Uhr, 21.06.2021

Hi,

welche Fragemeinst du genau?

1. Passen meine Aussagen in dem letzten Beitrag?
2. Wozu braucht man noch den zweiten Teil der Erklärungen (rot markiert)um zu zeigen, dass der Erwartungswert dem Integral entspricht?

Bildquelle: math.stackexchange.com/questions/172841/explain-why-ex-int-0-infty-1-f-x-t-dt-for-every-nonnegative-rando

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11:36 Uhr, 21.06.2021

"1. Passen meine Aussagen in dem letzten Beitrag?"

Na, da sehe ich keine Aussagen. Was du über Überlebenswahrscheinlichkeiten schreibst, ist eher Philosophie als Mathematik.
Aber vielleicht übersehe ich etwas, es ist ziemlich heiß, mein Kopf funktioniert nicht richtig.

"2. Wozu braucht man noch den zweiten Teil der Erklärungen (rot markiert)um zu zeigen, dass der Erwartungswert dem Integral entspricht?"

Braucht man nicht, das ist schon die Erweiterung der Argumentation mit der Anwendung auf die Momente

E (X^{p})

. "Likewise" bedeutet "analog dazu". Also nicht nur Erwartungswert kann mit diesem Argument berechnet werden, sondern auch Momente.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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