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Tags: Gleichungen, kürzen, Linearfaktor

MacGyver

14:01 Uhr, 04.09.2018

Hallo,

kann man Linearfaktoren in Gleichungen ausnahmsweise kürzen, ohne dass dabei eine Lösung "verschluckt wird?

Viele Grüße

M.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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14:12 Uhr, 04.09.2018

Um welche Gleichung geht es?

abakus

17:01 Uhr, 04.09.2018

"kann man Linearfaktoren in Gleichungen ausnahmsweise kürzen, ohne dass dabei eine Lösung verschluckt wird?"

Manchmal (ausnahmsweise) ja.
Wenn man in der Gleichung

\frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 2) ²} = 0

den Faktor (x-2) kürzt, geht die einzige Lösung x=5 nicht verloren, und sogar die Polstelle x=2 bleibt.

MacGyver

21:15 Uhr, 04.09.2018

Danke, die Frage war allgemein gestellt: Wenn ich eine beliebige Gleichung mit einem Bruch gegeben habe, in dem es möglich ist, Linearfaktoren zu kürzen: Kann ich das bedenkenlos tun oder ist es möglich, dass Lösungen dadurch verloren gehen? Oder lässt sich das nicht allgemein sagen? Gibt es Gegenbeispiele? Falls es Gegenbeispiele gibt: Wie kann man Erkennen, dass man Linearfaktoren kürzen kann, ohne Lösungen dabei zu verlieren?

MacGyver

21:15 Uhr, 04.09.2018

MacGyver

21:15 Uhr, 04.09.2018

abakus

22:04 Uhr, 04.09.2018

"Kann ich das bedenkenlos tun oder ist es möglich, dass Lösungen dadurch verloren gehen?"
Im Gegenteil, du kannst Lösungen erhalten, die es vorher nicht gab.

\frac{x ²}{x} = 0

ist bei x=0 nicht definiert und hat keine Lösung.
Nach dem Kürzen von x hast du x=0 mit der Lösung x=0.

PS: Ich habe allerdings die Befürchtung, dass du mit "Kürzen" nicht tatsächlich Kürzen, sondern die beidseitige Division einer Gleichung durch den selben Linearfaktor meinst. Dadurch kann man tatsächlich Lösungen verlieren.

rundblick aktiv_icon

22:49 Uhr, 04.09.2018

.
"Wenn ich eine beliebige Gleichung mit einem Bruch gegeben habe,
in dem es möglich ist, Linearfaktoren zu kürzen: "

also: das sind ja interessante Fragen ..
da bekommst du ja auch interessante Antworten
bei denen zB eine

\to

Gleichung sogar einen bleibenden Pol ! hat

\to

"Wenn man in der Gleichung

\frac{(x - 5) \cdot (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} = 0

den Faktor

(x - 2)

kürzt,
geht die einzige Lösung

x = 5

nicht verloren,... und sogar die Polstelle

x = 2

bleibt."

- und was passiert eigentlich , wenn bei dieser Gleichung rechts nicht 0 steht
Beispiel

\to \frac{(x - 5) \cdot (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} = 1 . .

. oder

\frac{(x - 5) \cdot (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} = 2 .

. usw
probiers..

".. Linearfaktoren zu kürzen:
Kann ich das bedenkenlos tun oder ist es möglich, dass Lösungen dadurch verloren gehen?"
hm.. wieso verloren?
- wenn du bedenkenlos loslegst, hast du dann evtl. sogar eine Lösung zuviel

\to

\frac{(x - 5) \cdot {(x - 2)}^{2}}{x - 2} = 0 . .

. gekürzt

\Rightarrow .

(x - 5) \cdot (x - 2) = 0

mit Lösungen

x_{1} = 5

und

x_{2} = 2

"... Kann ich das bedenkenlos tun

. .

.
Oder lässt sich das nicht allgemein sagen?"

->"Oder.." ist gut:..also bei jeder Aufgabe genau hinschauen und jeweils neu überlegen.
.

MacGyver

06:43 Uhr, 05.09.2018

Also, ich habe keine Beispielgleichung gefunden, bei der Lösungswerte beim Kürzen eines Linearfaktors verloren gehen. Es gehen in einer Gleichung ja auch keine Lösungen verloren, wenn man einen konstanten Faktor aus einem Bruch kürzt. Letztendlich kann ein Linearfaktor, in den ein Lösungswert für

x

eingesetzt wurde, auch wie ein konstanter Faktor betrachtet werden. Meiner Meinung nach sollte deshalb ein bedenkenloses Kürzen möglich sein, ohne dass die Möglichkeit besteht, dass Lösungswerte verloren geht. Aber vielleicht übersehe ich auch etwas. Was meint ihr dazu?

pwmeyer aktiv_icon

10:01 Uhr, 05.09.2018

Hallo,

du musst schon genauer sagen, was Du meinst, welche Art von Gleichung, was für ein Linearfaktor

...

.

Die Gleichung

x \cdot (x - 2) = x - 2

hat die Lösungen

x = 1

und

x = 2

. Nach Kürzen:

x = 1,

nur noch eine Lösung

Gruß pwm

gilgamesch4711 aktiv_icon

15:26 Uhr, 05.09.2018

Also meine Beobachtung bzw. Vermutung. die wahren Genies sind bekanntlich nicht die, die etwas bewiesen haben, sondern die, welche unbewiesene Vermutungen in den Raum stellen.
Eine Gleichung in deinem Sinne möge eine Gleichung sein in einer Unbekannten

x,

wo zwei

\Rightarrow

gebrochen rationale Funktionen ( GRF

) f_{1} (x) = f_{2} (x)

gleich gesetzt werden. Äquivalent ließe sich sagen: Du suchst die Nullstellen von

f_{1} - f_{2}

.
Als Erstes gehst du her und machst

\Rightarrow

Polynomdivision ( PD ) Zwar ist PD eine reine Schönheitsoperation; aber es könnte ja sein, dass sich in der ganz rationalen Komponente irgendwas weg hebt. Damit ersparst du dir

u . U

. viel mühseliges Klammer Rechnen, wo sich hinterher die ganzen Terme doch wieder weg heben.
Noch wichtiger;

\Rightarrow

Teilbruchzerlegung ( TZ ) Weil von euch Schülern bekam ich immer wieder Anfragen

" Woran erkennt man den Hauptnenner einer Gleichung? "

Das ist nämlich genau der Punkt; schau mal ich kann zaubern

x - 1 = 0 | \cdot (x - 2) (1)

Gleichung

(1)

hat Lösung

x = 0

. ( Angeblich ) darf ich mit einer Gleichung alles machen, so lange ich es nur auf beiden Seiten gleichzeitig mache. Die Umformung in

(1)

habe ich wie üblich vermerkt.

(x - 1) (x - 2) = 0 | \cdot (x - 3) (2)

(2)

hat aber im Gegentum zu

(1)

ZWEI Wurzeln; nämlich

x_{1} = 1, x_{2} = 2

. Was ist da los? Jetzt denk doch mal logisch. Jede Lösung von

(1)

ist zwangsläufig auch eine Lösung von

(2)

. Aber umgekehrt? Zu Mindest bedürfte dies eines Beweises. Umformungen einer Gleichung, die die Lösungsmenge nicht verändern, heißen

\Rightarrow

Äquivalenzumformungen. Und wie du in

(2)

siehst, kann ich dieses Spielchen immer weiter treiben:

(x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0 (3 a)

x_{1} = 1; x_{2} = 2; x_{3} = 3 (3 b)

Ich behaupte mal ganz frech: Dies liegt daran, dass du in

(1)

mit einem Linearfaktor ( LF ) multipliziert hast, der nicht der Hauptnenner der Gleichung ist ( Er sagt wieder mal

max

Zeichen; Schluss folgt. )

gilgamesch4711 aktiv_icon

16:03 Uhr, 05.09.2018

Weil es hat sich immer wieder erwiesen: TZ ist unbestechlich . An sich ist ja TZ nichts weiter als eine ( endliche ) Reihenentwicklung nach der höchsten Ordnung sämtlicher Polstellen. Und wenn ein bestimmter Reihenkoeffizient in

f_{1}

und

f_{2}

gleich ist, sprich: Er fäält weg in der Darstellung von

(f_{1} - f_{2}) -

dann ZÄHLT DIESER POL EBEN NICHT ZUM HAUPTNENNER DER GLEICHUNG .
Um diese Aussage zu verstehen, musst du dir zunächst zu Ge,üte führen, wie TZ funktioniert; folgende Anekdote. Ich erkläre dir dieses Problem jetzt mit Worten, wie es gut und gerne der brave Soldat Schwejk getan hätte.

' Damit ich nicht vergess, Ihnen zu erzählen. Weil ich hatt mal einen Nachbar gehabt, den Fritz Rossner. Der hat aber immer " Peia " geniest statt Hatschi, was dann begreiflicher Weise sein Spitzname wurde. Ein fünfjähriger Bub war ich damals; fragt mich doch die Frau Rossner

" Hey Alfons; wie alt biste dann? "
"

5 -

und du? "
" Fraach dei Mudder, die waaß des. Wie alt is'n DEI Mudder? "
" Meine Mutter ist

37

. "
" Des waaß isch aach du Schauberger. "
" Frau Rossner warum fragste dann? "
" Hat dir dei Mudder net gelernt, dassmer sowas net freescht? Isch bin zehn Jahrn älter wie dei Mudder. "
" Wieviel is'n das? Sagschonsagschonsagschon

. .

. "

Meinem Daddy war das Mega peinlich; er rief mich ins Haus.

" Jetzt halt mal den vorlauten Schnabel. Die Mutti ist

37

und die Frau Rossner

37 + 1 o = 47

. "
" Versteh ich nicht; wie geht'n das? "
" Tjaa; Pappis sind eben große Zauberer. die können das

. .

. "
" Und der Peia? Kann der das auch? "
" Jeder kann das. "
" Du das wundert mich. Weil der Peia ist doch ein Idiot

. .

. "

Was diese story demonstrieren soll. Ich konnte die einfachsten Additionen nicht. Und du kannst ( wahrscheinlich ) keine TZ .
Das ganze Problem entsteht doch immer wieder dadurch, dass Gleichungen mit GRF vor der mittleren Reife durchgenommen werden, wo die Schüler noch keine Ahnung haben von

\Rightarrow

Differenzialrechnung, einer Disziplin der höheren Matematik. Wenn du mal ernsthaft nachdenkst, was ein Schüler alles wissen muss, der mit der mittleren Reife abgeht. Wozu braucht der im Leben je GRF? Mir ist keine einzige Textaufgabe bekannt, wo die vorkommen.
Wil in der Oberstufe ist das ja nachher ein Klax. Mein Axiom lautet:

" Ein Schüler, der keine Differenzialrechnung, keine Kurvendiskussion beherrscht, schaut die Matematik an mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt. "

Weil wenn du weißt, was in der Kurvendiskussion abgeht. Dann hast du gelernt, auch bei einer Gleichung mit GRF zu fragen, was gibt's da überhaupt für Polstellen; welche Unstetigkeiten sind hebbar?

D . h

. die Schüler stellen erst gar keine FRAGEN so wie du, sondern sie suchen selbstständig nach den ANTWORTEN .
Und? Was spräche eigentlich dagegen, GRF erst einzuführen im Curriculum der Oberstufe?
Aber bitte; wenn du noch spezielle Fragen hast zu PDTZ oder zu einem verwandten Tema - jeder Zeit.

abakus

20:56 Uhr, 05.09.2018

" Nach Kürzen: x=1, nur noch eine Lösung"

Hallo pwmeyer,
jetzt bin ich aber richtig enttäuscht. Von dir hätte ich diesen Lapsus nicht erwartet.
Was du da beschreibst, ist kein "kürzen".

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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