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Gleichungen in der Grundmenge Z

Schüler Kolleg,

Tags: Lösungsmenge

castiel aktiv_icon

17:57 Uhr, 08.02.2011

Hallo,

leider mache ich mir das schwer und weiß nicht mehr weiter.

Aufgabe:

Berechnen Sie in den folgenden Aufgaben die Lösungsmengen der Gleichungen in der Grundmenge Z.

a) 8 x + 43 = 5 x + 76

b) \frac{1}{4} x + \frac{2}{3} x + 14 = \frac{1}{3} x + 2 - \frac{5}{12} x

c) 4 x - [7 - (x + 15)] = 11 - [5 x - (3 x - 17)]

Ich hoffe jemand kann mir eine ausführliche Beschreibung und Lösung aufschreiben.

Gruß und danke im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

18:04 Uhr, 08.02.2011

Grundmenge

Z

heisst: Menge der Ganzen Zahlen

Aufgabe 1 wird

z . B

. so gelöst:

8 x + 43 = 5 x + 76 | - 5 x

8 x - 5 x + 43 = 76 | - 43

8 x - 5 x = 76 - 43

3 x = 33 | \div 3

x = 11

castiel aktiv_icon

18:08 Uhr, 08.02.2011

Könntest du mir das bitte auch erklären.

DmitriJakov aktiv_icon

18:11 Uhr, 08.02.2011

Das, was ich neben die Gleichung geschrieben habe,

z . B

. das in der Form "|-5x", nennt man "lineare Umformung". Das heisst, ich habe diese Rechenoperation sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite der Gleichung durchgeführt.

castiel aktiv_icon

18:15 Uhr, 08.02.2011

Nie gehört. Wie gehen die anderen Aufgaben?

DmitriJakov aktiv_icon

18:32 Uhr, 08.02.2011

Aufgabe

b)

\frac{1}{4} x + \frac{2}{3} x + 14 = \frac{1}{3} x + 2 - \frac{5}{12} x | - \frac{1}{3} x + \frac{5}{12} x

\frac{1}{4} x + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} x + \frac{5}{12} x + 14 = 2 | - 14

\frac{1}{4} x + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} x + \frac{5}{12} x = 2 + 14

Damit Brüche Addiert werden können, müssen sie auf den selben Nenner gebracht werden. Dieser Hauptnenner lautet hier:

12

\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} x + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} x + \frac{5}{12} x = 16

\frac{3}{12} x + \frac{8}{12} x - \frac{4}{12} x + \frac{5}{12} x = 16

\frac{3 + 8 - 4 + 5}{12} x = 16

\frac{12}{12} x = 16

x = 16

Aufgabe

c)

Hier kommt es darauf an, wie Klammern aufgelöst werden. Man beginnt mit den innersten Klammern und löst von innen nach aussen nacheinander auf.

Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so kehren sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um. Beispiel:

9 - (5 + 2) = 9 - 5 - 2 = 2

4x−

[

7−(x+15)]=11−[5x−(3x−17)]

4 x - [7 - x - 15] = 11 - [5 x - 3 x + 17]

4 x - 7 + x + 15 = 11 - 5 x + 3 x - 17

4 x + x - 7 + 15 = 11 - 17 - 5 x + 3 x

5 x + 8 = - 6 - 2 x | + 2 x - 8

5 x + 2 x = - 6 - 8

7 x = - 14 | \div 7

x = - 2

castiel aktiv_icon

18:42 Uhr, 08.02.2011

Wow, vielen dank!

Ich habe noch eine Frage:

Du hast jetzt alle Aufgaben unter Beachtung der Grundmenge

Z

gelöst, oder?

Jetzt noch eine blöde Frage:
Ganze Zahlen sind doch

10; 11; 12; . .

. , wie sehen dann die nicht ganzen Zahlen aus?

DmitriJakov aktiv_icon

18:49 Uhr, 08.02.2011

Es gibt die Natürlichen Zahlen:

1, 2, 3, 4, . .

. Diese bezeichnet nam mit

ℕ

Die negativen ganzen Zahlen

- 1, - 2, - 3, . .

. ergänzen die Natürlichen Zahlen zue Menge der Ganzen Zahlen, die man

ℤ

bezeichnet.

Zahlen, die jetzt nicht ganze Zahlen sind, das sind Dezimalzahlen, also

4,5

oder

16,35

. Aber auch Brüche wie

z . B

\frac{1}{2}

oder

\frac{2}{3}

sind jetzt nicht ganze Zahlen. Diese Zahlen, die auch die Dezimalzahlen und Brüche enthalten nennt man "Rationale Zahlen" und ihr Zeichen ist

ℚ

castiel aktiv_icon

19:03 Uhr, 08.02.2011

Alles klar jetzt weiss ich Bescheid.

Gruß und vielen Dank nochmal!

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