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Gleichungen n-ten Grades Auflösen, Blackout

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Gleichungen auflösen

 
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Maurermichl

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19:29 Uhr, 26.11.2018

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Aufgabe: Lösen der Gleichung: x4-2x2+1=0

Problem: völlige Ahnungslosigkeit

Irgenwo sind noch Wissensreste, dass das wohl in die Form an*(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
überführt gehört um dann eben die 0-Stellen x1, x2, x3 und x4 abzulesen.
Aber wie daß geht ist futsch.

Vielleicht könnte mir jemand Starthilfe geben.
Online-Nachhilfe in Mathematik
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supporter

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19:33 Uhr, 26.11.2018

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Substituiere: x2=z

z2-2z+1=0

pq-Formel oder Vieta oder binom. Formel

...
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Edddi

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19:45 Uhr, 26.11.2018

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Alternativ:

(x2-1)2=x4-2x2+1

;-)
Maurermichl

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19:45 Uhr, 26.11.2018

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Ja. Danke! Ich dachte auch schon an die Quadratische Ergänzung.
Die haben wir im Kurs jedoch (noch) nicht durchgemacht.
Da auch ungerade Polynomgleichungen in der Aufgabe enthalten sind, denke ich mal nicht, dass dies der geforderte Lösungsweg ist.
Wie würde ich bei x3+x2+1=0 oder 6x5-x3-2x=0 vorgehen?
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supporter

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19:52 Uhr, 26.11.2018

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Polynomdivision bzw. x ausklammern bei der 2. Gleichung.

Für kubische Gleichungen braucht man oft ein Näherungsverfahren (Newton) , wenn eine Polynomdision nicht möglich ist.
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Edddi

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19:56 Uhr, 26.11.2018

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... noch zur ersten Aufgabe:

x2-1=(x-1)(x+1) und damit

x4-2x2+1=(x2-1)2=(x-1)2(x+1)2

Zu deinem letzten Beispiel:

6x5-x3-2x=0

(6x4-x2-2)x=0

(2x2+1)(3x2-2)x=0

... in den Klammern wieder bin. Formel anwenden.

Dein Beispiel x3+x2+1=0 lässt sich leider nicht offensichtlich zerlegen. Auch das raten der Nulklstelle wird nix (Es sei denn, du rätst seeehr gut).

Hier bleiben nur card. Formel oder Näherungsverfahren.

;-)
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Roman-22

Roman-22

21:32 Uhr, 27.11.2018

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> Dein Beispiel x3+x2+1=0 lässt sich leider nicht offensichtlich zerlegen. Auch das raten der Nulklstelle wird nix (Es sei denn, du rätst seeehr gut).
Nun, die Nullstelle x=-13-436(29+3933+29-3933)-1,465571 ist in der Tat sicher nur mit sehr vieeeeel Erfahrung intuitiv erratbar ;-)

Vielleicht war diese Angabe aber auch nur wild erfunden, vielleicht sollte sie aber auch x3+x2+x+1=0 lauten, denn das wäre dann doch wirklich leicht zu lösen.
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Atlantik

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13:05 Uhr, 28.11.2018

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Ein anderer Zugang über die Bestimmung der Extremwerte:

f(x)=x4-2x2+1

f ´ (x)=4x3-4x

4x3-4x=0

x3-x=0

x(x2-1)=0

x1=0f(0)=1

x2=1f(1)=0

x3=-1f(-1)=0

Somit liegen Nullstellen bei N1(1|0) und N2(-1|0). Da hier nun auch Extremwerte vorliegen, handelt es sich um jeweils doppelte Nullstellen.

Eine Parabel 4. Grades hat immer 4 Nullstellen.

mfG

Atlantik







Frage beantwortet
Maurermichl

Maurermichl aktiv_icon

18:08 Uhr, 28.11.2018

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Danke