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Gleichungen richtig?

Universität / Fachhochschule

Tags: Schnitt, Summe, Unterraum

 
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Nick2344

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19:00 Uhr, 05.12.2017

Antworten
Hallo,
Ich habe drei Unterräume F,G,H eines Vektorraums V gegeben.
Gelten folgende Gleichungen:

1.)F(G+H)=(FG)+(FH)

2.)F+(GH)=(F+G)(F+H)


Also 1.) gilt nicht, denn
Sei V=R2 und G=(x,0),H=(0,y),F=(z,z)

Dann gilt :(G+H)=R2 und F(G+H)=(z,z)


(FG)=(0,0)
(FH)=(0,0)
(FG)+(FH)=(0,0)

Das heißt, dass 1. nicht gilt. Stimmt das?

Wie würde 2. gehen?



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Nick2344

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20:45 Uhr, 05.12.2017

Antworten
Kann mir jmd helfen bitte?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

08:19 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Hallo,

ein Gegenbeispiel reicht, das ist für 1.) in Ordnung.
Bei 2.) musst du tatsächlich die Gleichheit beweisen.
Mengengleichheiten der Art A=B beweist man nach Inklusionen getrennt, d.h. AB und BA.
Eine Inklusion AB beweist man, indem man für beliebiges aA beweist, dass auch aB gilt.

So, und nu ran!

Mfg Michael
Nick2344

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09:15 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Danke:-)
Also 1. " ":
Sei xF+(GH). Dann ist xF oder x(GH). 1.Fall: xF. Dann ist xF+G und auch xF+H. D.h heißt auch das x(F+G)(F+H) liegen muss.
2. Fall:
x(GH),d.hxG und xH. D.h auch das x(F+G)(F+H).
2. andere Richtung:

Sei x(F+G)(F+H),d.hxF+H und xF+G,d.hxF und dann auch xF+(GH)
Stimmt das?
Antwort
Bummerang

Bummerang

09:39 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Hallo,

bei 1.) bitte beachten, dass F,G und H nicht einfach nur Mengen sind, für die Du ein Gegenbeispiel hast, sondern dass es Unterräume sind und dann müssen auch die Beispiele Unterräume sein!
Nick2344

Nick2344 aktiv_icon

09:49 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Soll ich dann z.b(x,0) als Basis des Unterraums schreiben( also B={(1,0)} und stimmt 2?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:20 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Hallo,

also, ich finde, das Gegenbeispiel ist so, wie du es notiert hast, für 1.) absolut ausreichend.

Bei 2.) hast du noch nicht so recht verstanden, was zu tun ist.
Wenn man Mengengleichheit beweisen will, muss man mit der eine Menge definierenden Eigenschaft arbeiten (jedenfalls zumeist).

Etwa: Sei xF+(GH) heißt, dass es ein fF und ein yGH gibt, sodass x=f+y.
Nichts anderes ist ja bekannt, also müssen wir uns darauf stürzen!

Schließlich ist ja damit zu beweisen, dass x(F+G)(F+H) gilt. Dazu musst du beweisen, dass xF+G UND xF+H gültig ist.

Wie kann man das aus x=f+y mit fF und yGH schließen?

Mfg Michael
Nick2344

Nick2344 aktiv_icon

12:32 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Erstmal danke für deine Antwort:Wenn
yGH. Dann ist yG und yH. D.h da fF ist muss x=f+yF+G
Und xF+H sein. Also x(F+G)(F+H).
Geht das so dann?
Nick2344

Nick2344 aktiv_icon

15:57 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Stimmt das?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

15:59 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Hallo,

korrekt.

Mfg Michael
Nick2344

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16:20 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Dann fehlt noch die Rückrichtung:

Sei z(F+G)(F+H)

dann ist zF+G und zF+H,d.hzF und dann auch zF(G+H)

Das richtig?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

17:25 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Hallo,

> Das richtig?

Nein!

> Sei z∈(F+G)∩(F+H)
> dann ist z∈F+G und z∈F+H

So weit, so gut.
Nun musst du (wieder!) die Additionseigenschaft ins Spiel bringen!

zF+G, d.h. es ex. ...

Mfg Michael
Nick2344

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18:31 Uhr, 06.12.2017

Antworten
D.h es existiert ein fF und gG mit z=f+g. Darüber hinaus ist zF+H.d.h es ex.ein fF und hH mit z=f+h.
Wie komme ich weiter?
Nick2344

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20:13 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Wie komme ich weiter :(
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:29 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Hallo,

tut mir leid, mein Gefühl hat mich getrogen.
Offenbar ist auch die Gleichung nicht richtig, wie man am Beispiel V=2, F={(x,0)x\mathbR}\neq V, G={(x,x)x} und H={(0,x)x} sieht:
F+G=V=F+H ist klar (denke ich). Demnach auch (F+G)(F+H)=V. Aber: GH={0}, sodass F+(GH)=F+{0}=FV gilt.

Tja, mein Lieblingszitat:
Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. Bertrand Russell (s. etwa www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/zitate.htm )

Immerhin. An dieser Stelle angekommen, beginnt man zu überlege, wie ein Gegenbeispiel aufgebautsein muss!

Mfg Michael
Nick2344

Nick2344 aktiv_icon

20:55 Uhr, 06.12.2017

Antworten
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe und Geduld :-))

Gut, dass du meinen Beweis auseinander genommen hast und deshalb auf den Fehler gekommen bist :-)
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

23:17 Uhr, 06.12.2017

Antworten
bitte abhaken
ledum
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Nick2344

Nick2344 aktiv_icon

16:30 Uhr, 07.12.2017

Antworten
Abgehackt.