Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gleichungen von Niveaulinien aufstellen

Gleichungen von Niveaulinien aufstellen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Niveaulinie Höhenlinie

Gravity88m aktiv_icon

23:29 Uhr, 11.03.2013

Hallo an euch alle. So ich habe mich in letzter Hoffnung nun an euch gewandt, da ich einfach nicht durch das Thema Niveaulinien durchsteige.
Ich habe zwar einige Aufgaben bzgl dieser Linien gefunden, allerdings konnte ich damit mein Verständnis dafür auch nicht ausbauen.
Die Aufgabe:
Nr

5 a)

Sei

f : R^{2} \to R, f (x, y) = \sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}

Geben Sie für jede reelle Zahl

h

jeweils die Gleichung der Niveaulinie

h = f (x, y)

an und beschreiben Sie deren Form.

Ich habe jetzt einfach die Funktion

= h

gesetzt. Also

h = \sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}

Dann beidseitig quadriert also:

h^{2} = (x^{2}) + (y^{2})

Daran erkennt man, dass dabei ein Kreis entsteht. (Kreis geht ja noch, aber wie erkennt man hier komplexere Konstrukte??)

Nun würde ich nach

y

umstellen also:

h - x = y

Das wäre mein kläglicher Versuch hier eine Gleichung aufzustellen.

Genauso kryptisch finde ich die nächsten zwei Aufgaben:

5 b)

Zeigen Sie, dass der Betrag der Gradienten von

f (x, y) \in

jedem Punkt

(x, y) \neq (0,0)

des Definitionsbereich den Wert 1 besitzt

5 c)

Untersuchen Sie, ob der Grenzwert von fx(x,y) = df/dx

(x, y)

für

(x, y) \to (0,0)

existiert, wenn die Annäherung entlang der Geraden

y = 2 x

erfolgt.

Diese Aufgaben sind aus der Klausur vom letzten Semester, bei der ich leider durchgefallen bin.
Da am Freitag nun der nächste Versuch ist und ich alle anderen Themen mehr oder minder beherrsche, bitte ich euch um möglichst detailierte Erklärung.
Ich bin nach über

4 h

Suchen leider zu keinem schlüssigen Ergebnis gekommen.
Ich danke Euch schonmal für die Hilfe.

Liebe Grüße
Marc

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

08:46 Uhr, 12.03.2013

Hallo,

mit der Erkenntnis, dass die Niveau-Linien Kreise sind, ist - meine ich - die erste Aufgabe erledigt. Neben Kreisen wird man vielleicht erwarten, dass Du Ellipsen- und Hyperbeln und Geraden erkennst. Aber allgemein werden Niveaulinien nicht zu klassifizieren sein.

"Nun würde ich nach

y

umstellen also:
h-x=y"

Das verstehe ich nicht.

Was die nächsten beiden Teilaufgabe angeht: Du berechnest den Gradienten und seinen Betrag, fertig. Du berechnest

f_{x} (x, y)

und setzt darin

y = 2 \cdot x^{2}

.

Gruß pwm

Gravity88m aktiv_icon

09:05 Uhr, 12.03.2013

Naja ich meine irgendwo gelesen zu haben, dass man die Gleichung einer Niveaulinie nach

y

umstellen soll, um eine Funktion zu erhalten, welche für alle

x

ein

y

liefert.
Ob das richtig ist weiß ich eben nicht.

Die beiden anderen Aufgaben scheinen mir jetzt klarer, vielen Dank schonmal an der Stelle. Sobald ich Zuhaus bin, werde ich mich mal daran machen und mein Ergebnis hier posten.

Liebe Grüße
Marc

Gravity88m aktiv_icon

22:07 Uhr, 12.03.2013

So also ich hab mich mal an der

b

und

c

versucht.

Bei der

b

habe ich die Ableitungen nach

x

und

y

gemacht
Also:
fx(x,y):

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}}

fy(x,y):

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 y}{\sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}}

Nun habe ich den Betrag dieser zwei Funktionen addiert und gleich 1 gesetzt, also

| \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}} | + | \frac{1}{2} \cdot \frac{2 y}{\sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}} | = 1

Da kommt dann raus:

x^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2}

Also müsste das doch zeigen, dass der Betrag des grad. immer 1 ist wenn

x, y \neq 0

oder?

Bei der

c

habe ich folgendes gemacht:

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{(x^{2}) + (y^{2})}} - \to \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{(x^{2}) + ({(2 x)}^{2})}}

nun für

x

und

y = 0

eingesetzt und mit l'hospital auf den Grenzwert geprüft.
Nach dem ersten Schritt habe ich dann:

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x + 4 x}{\sqrt{(x^{2}) + {(2 x)}^{2}}}}

Da kommt aber dann

\frac{2}{0}

raus, also existiert kein Grenzwert.

Es kann sein, dass dies alles völliger Murks ist, aber aus diesem Grund suche ich ja hier hilfe

\land

Wäre nett wenn noch jemand auf die Frage eingehen könnte, ob bei der a eine umstellung nach

y

quatsch ist.
Liebe Grüße
Marc

anonymous

22:50 Uhr, 12.03.2013

Hier mal meine Überlegungen:

anonymous

22:55 Uhr, 12.03.2013

du scheinst Lücken in den Grundlagen zu haben. Schau bitte mal hier nach:
http//www.youtube.com/watch?v=AZSZkT5uU8A
...sehr anschaulich erklärt!

Gravity88m aktiv_icon

23:56 Uhr, 12.03.2013

Joa ich weiß, diese Lücken versuche ich schon seit Tagen zu stopfen, mit mäßigem Erfolg. Vielen Dank an der Stelle noch einmal für deine Hilfe.
Das Video habe ich gesehen und auch verstanden. Allerdings tue ich mich eben immernoch schwer damit, den Inhalt in einem Text erkennen zu können und die entsprechenden Formeln und Regeln anzuwenden. Ich finde eben auch wenige Tutorien im Netz dazu. Die Professoren sind in Urlaub und im Netz als Text ist es meistens sehr kompliziert erklärt. Bzw mir etwas unverständlich.
Ich hätte zu deiner Lösung noch eine Frage.

Du schreibst ja

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} | (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) |

und erhälst

\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 1

Wie kommst du denn darauf?

Ich denke der Rest ist nun verstanden. Und scheint mir, wie es immer so ist, relativ einfach.

Liebe Grüße
Marc

Gravity88m aktiv_icon

00:01 Uhr, 13.03.2013

Ah ok hat sich erledigt. Das ist ja die Betragsrechnung vom Vektor mit eben dem Bruch multipliziert.

Ich hatte gerade Tomaten auf den Augen :-)
Vielen vielen Dank an alle!
Ihr habt mir einiges klarer gemacht.

Bleibt nurnoch die Frage bzgl. der

5 a)

mit der umstellung nach

y

. Ist das nun quatsch oder nicht? Wie gesagt hatte es im Netz so gelesen.

Liebe Grüße
Marc

pwmeyer aktiv_icon

10:08 Uhr, 13.03.2013

Hallo,

Da hattest gescrieben:

h^{2} = x^{2} + y^{2}

Nun würde ich nach

y

umstellen also:
h−x=y

Richtige wäre aber

h^{2} - x^{2} = y^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{h^{2} - x^{2}}

für

| x | \leq h

Durch Kurvendiskussion kann man dann auch erkennen, dass es sich um einen Kreis handelt. Insofern ist das (richtige) Umstellen nach

y

auch sinnvoll.

Gruß pwm

Gravity88m aktiv_icon

10:37 Uhr, 13.03.2013

Ja super

\land

Auf dem Blatt hab ich das auch noch gestern gemacht.
Hab nur vergessen es hier zu posten.
Aber die Erklärung hilft mir sehr.
Dankeschön

1081309

1080895

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?