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Gleichungssystem für Punkt- und Achsensymetrie

Schüler Gymnasium,

Tags: achsensymetrie, Gleichungssystem, Punktsymmetrie

 
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Sina2012

Sina2012 aktiv_icon

00:10 Uhr, 21.10.2012

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Hallo,
im Rahmen des Themas "Rekonstruktion von Funktionen", bin ich mit folgende Beispielaufgabe konfrontiert worden:

Ansatz:
f(x) ist eine Funktion des 3.Grades

Eigenschaften von f:

1) PunktSymetrisch zu 0
2)f(0)=0
3)f'(2)=0
4)f(2)=-1,5

Als Gleichungssystem ist folgendes angegeben:

1)b=0
2)d=0
3)12a+4b+c=0
4)8a+4b+2c+d=-1,5

Resultat:
F(x)=332x3-98x

Meine Frage:

Wie kommt man auf b=0? Wegen der Punktsymetrie verstehe ich schon, aber wie genau passiert das? Und was ist mit Achsensymetrie? Wie würde da die Gleichung aussehen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pivot

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00:21 Uhr, 21.10.2012

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Hallo,

für Punktsymmetrie gilt ja folgender Zusammenhang:

f(-x)=-f(x)

Das wäre nicht gegeben, wenn b≠0 wäre. Ein quadratischer Ausdruck ist ja immer positiv, auch wenn x negativ ist. Somit gilt dann der obige Zusammenhang dann nicht mehr.

Grüße,

pivot.
Sina2012

Sina2012 aktiv_icon

00:33 Uhr, 21.10.2012

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Was wenn es nicht zum Ursprung symmetrisch ist, sondern z.B. bei X=2
Wie würde dann die Gleichung aussehen? Auch b=0? Ist b immer gleich Null, wenn Punktsymmetrie vorhanden ist?
Und dann noch die Frage wie das sich mit Achsensymmetrie verhält? Wie sieht da die Gleichung aus?
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pivot

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01:08 Uhr, 21.10.2012

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Wenn man z.B. die Funktion f(x)=x^3+3*x symmetrisch zu x=2 haben will, dann muss man den x-Wert um 2 nach rechts verschieben: g(x)=(x-2)^3+3*(x-2)

b ist hier weiterhin Null, wenn Punktsymmetrie, hier zu Punkt(2/0), vorherrschen soll.

Ein Bild macht es nochmal anschaulich.



Symmetrie beliebige Achse
Sina2012

Sina2012 aktiv_icon

01:19 Uhr, 21.10.2012

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Also mir ging es eigentlich darum die Gleichung für Punktsymmetrie rauszukriegen, wenn die fz.B. bei x=2 punktsymmetrisch ist. Die Funktionsgleichung ist noch nicht bekannt. Es geht darum die schon bekannten Eigenschaften in Gleichungsform aufzuschreiben. Oben im Eingangsbeitrag hatten wir b=0, weil punktsymmetrisch zum Ursprung. Was ist b bei x=2 Punktsymmetrie?
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pivot

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01:46 Uhr, 21.10.2012

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Erst mal eine Korrektur: b ist bei (x-2)3+(x-2) nicht 0. Wenn man den Ausdruck ausmultipliziert, dann kommt raus: -10+13*x-6*x2+x3
Somit ist b=6 und d=-10.

Wenn ich dich richtig verstehe, willst du die Aufgabe so umbauen, dass Punktsymmetrie bzgl. des Punktes (2/0) herrscht.

Das Problem ist, dass es dann eine komplett andere Aufgabe ist, da die anderen Bedingungen nicht mehr stimmen. Besser wäre es, wenn du eine konkrete Aufgabe hättest.




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