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Gleichungssystem invertieren

Lehrer

Tags: explizit, Minimal-Fehlerquadrat, Parabel 3. Ordnung

anonymous

12:27 Uhr, 27.07.2009

Hallo Freunde der Mathematik
gegeben sei eine Wertetabelle mit

n \frac{x}{y} -

Punkten:

x_{1}, x_{2}, x_{3},

…

, x_{n}

y_{1}, y_{2}, y_{3},

…

, y_{n}

An diese Stützstellen will ich Funktionen approximieren:

>

Gerade

>

Parabel

>

Parabel dritter Ordnung
(Anmerkung: diese Funktionalität bieten viele Programme wie

z . B

. Excel, aber ich will es selber programmieren.)

Ich nutze die Methode der minimalen Fehlerquadrate.
Für Gerade und Parabel habe ich die Lösungen schon:

a)

Gerade
Ansatz:

y = A \cdot x + C

Ansatz-Gleichungen:

0 = A \cdot

Summe(x*x)

+ C \cdot

Summe(x) - Summe(x*y)

0 = A \cdot

Summe(x)

+ n \cdot C -

Summe(y)

Nebenbemerkung: Damit wir fortan nicht mehr so viel schreiben müssen, vereinbaren wir bitte folgende Schreibweise:
statt Summe(z) erlaube ich mir, fortan nur noch Sz zu schreiben, ja?

Die Lösung für die Gerade erhält man einfach, indem man die beiden Gleichungen nach den Unbekannten

A, C

auflöst:
Nenner

= n \cdot S (x \cdot x) -

\cdot

A = [n \cdot S (x \cdot y) -

\cdot

]

geteilt_durch Nenner

C =

[

\cdot S (x \cdot x) -

\cdot S (x \cdot y)]

geteilt_durch Nenner

b)

Parabel
Ansatz:

y = A \cdot x \cdot x + B \cdot x + C

Ansatz-Gleichungen:

0 = A \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) + B \cdot S (x \cdot x \cdot x) + C \cdot S (x \cdot x) - S (x \cdot x \cdot y)

0 = A \cdot S (x \cdot x \cdot x) + B \cdot S (x \cdot x) +

C*Sx

- S (x \cdot y)

0 = A \cdot S (x \cdot x) +

B*Sx

+ n \cdot C -

Sy
explizite Auf-Lösung nach den Unbekannten

A, B, C :

Nenner=

n \cdot S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) -

Sx*Sx*S(x*x*x*x)

+

2*Sx*S(x*x)*S(x*x*x)

- n \cdot S (x \cdot x \cdot x) \cdot S (x \cdot x \cdot x) - S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x)

A = [S (x \cdot x \cdot y) \cdot (n \cdot S (x \cdot x) -

Sx*Sx

) + S (x \cdot y) \cdot

(Sx*S(x*x)

- n \cdot S (x \cdot x \cdot x)) +

\cdot

(Sx*S(x*x*x)

- S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x))]

geteilt_durch Nenner

B = [S (x \cdot x \cdot y) \cdot

(Sx*S(x*x)

- n \cdot S (x \cdot x \cdot x)) + S (x \cdot y) \cdot (n \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) - S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x)) +

\cdot (S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x \cdot x) -

Sx*S(x*x*x*x)

)]

geteilt_durch Nenner

C = [S (x \cdot x \cdot y) \cdot

(S(x*x*x)*Sx

- S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x)) + S (x \cdot y) \cdot (S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x \cdot x) - S (x \cdot x \cdot x \cdot x) \cdot

) +

\cdot (S (x \cdot x) \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) - S (x \cdot x \cdot x) \cdot S (x \cdot x \cdot x))]

geteilt_durch Nenner

c)

Parabel dritter Ordnung
Ansatz:

y = A \cdot x \cdot x \cdot x + B \cdot x \cdot x + C \cdot x + D

Ansatz-Gleichungen:

0 = A \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) + B \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) + C \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) + D \cdot S (x \cdot x \cdot x) - S (x \cdot x \cdot x \cdot y)

0 = A \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) + B \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) + C \cdot S (x \cdot x \cdot x) + D \cdot S (x \cdot x) - S (x \cdot x \cdot y)

0 = A \cdot S (x \cdot x \cdot x \cdot x) + B \cdot S (x \cdot x \cdot x) + C \cdot S (x \cdot x) +

D*Sx

- S (x \cdot y)

0 = A \cdot S (x \cdot x \cdot x) + B \cdot S (x \cdot x) +

C*Sx

+ n \cdot D -

Sy
explizite Auf-Lösung nach den Unbekannten

A, B, C, D :

Ja, und genau hier bin ich gescheitert. Das Prinzip ist klar, einfach die vier Gleichungen nach den vier Unbekannten auflösen (das Gleichungssystem invertieren). Zu Fuß mit Papier und Bleistift musste ich nach vielen Seiten Papier und mehreren Stunden feststellen, dass ich mich irgendwo vermasselt und ver-x-t habe. Und ich scheue jetzt ehrlich gesagt die Mühe, nochmals von vorne anzufangen.
Meine Hoffnung ist, gibt es irgendjemand, der das schon mal gemacht hat?
Oder weiß jemand, wo das schon steht? (Denn gemacht hat das sicher schon jemand.)
Oder kennt jemand ein Programm, mit dem das geht? Ich vermute, mit MathCAD könnte so was gehen, aber mit solchen Programmen kenne ich mich wiederum gar nicht aus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

marlon aktiv_icon

17:00 Uhr, 27.07.2009

Mein Rat: Schau mal in ein Fachbuch über (Einf. in die) numerische Mathematik

[

Stichwort "Ausgleichsrechnung"]. Deine Fragestellung ist keinesfalls trivial und es gibt durchaus sinnvolle und effiziente Ansätze in der Numerik um Näherungsfunktionen schnell auszurechnen.

(z . B . :

Knorrenschild "Numerische Mathematik". Sehr anwendungsorientiert und in wohl jeder Uni-Bib zu haben)

anonymous

12:12 Uhr, 03.08.2009

Hallo Marlon, Hallo Freunde der Mathematik
Danke für deinen Tip. Ich habe das Buch noch nicht ergattert. Ich habe aber ehrlich gesagt auch nicht so ganz viel Hoffnung, dass die gesuchten Formeln in Lehrbüchern abgedruckt sind. Lehrbücher enthalten typischerweise den Weg zu den Formeln, aber nicht die seitenlangen Formeln selbst - wie sie hier zu erwarten sind. Der Weg zu den Formeln ist prinzipielle bekannt, ich habe es oben ja selbst schon erläutert. Der Weg dorthin auf Papier ist aber auch lang, steinig und Fehler-anfällig.
Auch dein Hinweis auf numerische Verfahren ist löblich, aber leider nicht hilfreich. Ich habe selbst Rechenalgorithmen, die Gleichungssysteme numerisch invertieren können. Aber ich will in diesem Fall eben nicht numerisch, sondern explizit analytisch arbeiten.

Darf ich meine Frage nochmals präzisieren:

1)

Ich kenne Programme wie MathCAD nicht. Das, was ich aber darüber gehört oder daraus mir zusammengereimt habe, läßt mich hoffen, dass MathCAD (oder ähnliche Programme) solche Formeln explizit umstellen, das Gleichungssystem invertieren kann.
Gibt es hier jemanden, der MathCAD kennt? Kann mir jemand bestätigen, dass/ob MathCAD so was kann?

2)

Ich habe immer noch die leise Hoffnung, dass hier irgendwo ein fleissiger, MathCAD-erfahrener Teilnehmer ist, der das mal eben eintippt, und mir die MathCAD-Ergebnisse irgendwie zukommen läßt. Ich wäre tausendfach dankbar!

Um es anschaulicher zu gestalten, habe ich mir überlegt, könnte eine Substitution helfen:

g =

h = S (x \cdot x)

j = S (x \cdot x \cdot x)

k = S (x \cdot x \cdot x \cdot x)

l = S (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)

m = S (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)

t =

u = S (x \cdot y)

v = S (x \cdot x \cdot y)

w = S (x \cdot x \cdot x \cdot y)

Dann sieht das Gleichungssystem übersichtlich so aus:

0 = A \cdot m + B \cdot l + C \cdot k + D \cdot j - w

0 = A \cdot l + B \cdot k + C \cdot j + D \cdot h - v

0 = A \cdot k + B \cdot j + C \cdot h + D \cdot g - u

0 = A \cdot j + B \cdot h + C \cdot g + D \cdot n - t

Ziel:

A = f (g, h, j, k, l, m, n, t, u, v, w)

B = f (g, h, j, k, l, m, n, t, u, v, w)

C = f (g, h, j, k, l, m, n, t, u, v, w)

D = f (g, h, j, k, l, m, n, t, u, v, w)

Sonst - wenn mir keiner helfen kann - werde ich doch nochmals den Weg per Papier und Bleistift angreifen. Das macht Mühe, aber ich werd's schon hinkriegen.

anonymous

12:08 Uhr, 10.08.2009

Online-Mathe fragt mich regelmäßig, ob ich noch Interesse an der Aufgabenstellung hätte.

Ja - ich habe immer noch Interesse, auch wenn ich es jetzt auf dem Status "kein Interesse mehr" belasse.

Vielleicht findet sich ja doch noch jemand, der mir ein wenig helfen kann?

anonymous

12:49 Uhr, 07.09.2009

Hurra, ich hab's jetzt.
Falls es noch jemanden interessiert, hier das Ergebnis:

Nenner=

(n \cdot h - g \cdot g) \cdot (l \cdot l - k \cdot m) + n \cdot (k \cdot k \cdot k - 2 \cdot j \cdot k \cdot l + j \cdot j \cdot m) + j \cdot j \cdot (2 \cdot g \cdot l + 2 \cdot h \cdot k - j \cdot j) + h \cdot k \cdot (2 \cdot g \cdot l - h \cdot k + j \cdot j) + h \cdot h \cdot (h \cdot m - 2 \cdot j \cdot l) - 2 \cdot g \cdot j \cdot (h \cdot m + k \cdot k)

A = {t \cdot (g \cdot (j \cdot l - k \cdot k) + h \cdot (j \cdot k - h \cdot l) + j \cdot (h \cdot k - j \cdot j))

+ u \cdot (n \cdot (k \cdot k - j \cdot l) + g \cdot (h \cdot l - j \cdot k) + h \cdot (j \cdot j - h \cdot k))

+ v \cdot (n \cdot (h \cdot l - j \cdot k) + g \cdot (j \cdot j - g \cdot l) + h \cdot (g \cdot k - h \cdot j))

+ w \cdot (n \cdot (j \cdot j - h \cdot k) + g \cdot (g \cdot k - h \cdot j) + h \cdot (h \cdot h - g \cdot j))

}

/Nenner

B = {t \cdot (g \cdot (k \cdot l - j \cdot m) + h \cdot (h \cdot m - k \cdot k) + j \cdot (j \cdot k - h \cdot l))

+ u \cdot (n \cdot (j \cdot m - k \cdot l) + g \cdot (j \cdot l - h \cdot m) + j \cdot (h \cdot k - j \cdot j))

+ v \cdot (g \cdot (g \cdot m - j \cdot k) + h \cdot (j \cdot j - n \cdot m) + k \cdot (n \cdot k - g \cdot j))

+ w \cdot (n \cdot (h \cdot l - j \cdot k) + g \cdot (j \cdot j - g \cdot l) + h \cdot (g \cdot k - h \cdot j))

}

/Nenner

C = {t \cdot (g \cdot (k \cdot m - l \cdot l) + j \cdot (j \cdot l - h \cdot m) + k \cdot (h \cdot l - j \cdot k))

+ u \cdot (n \cdot (l \cdot l - k \cdot m) + h \cdot (h \cdot m - j \cdot l) + j \cdot (j \cdot k - h \cdot l))

+ v \cdot (n \cdot (j \cdot m - k \cdot l) + h \cdot (j \cdot k - g \cdot m) + j \cdot (g \cdot l - j \cdot j))

+ w \cdot (n \cdot (k \cdot k - j \cdot l) + h \cdot (g \cdot l - h \cdot k) + j \cdot (h \cdot j - g \cdot k))

}

/Nenner

D = {t \cdot (h \cdot (l \cdot l - k \cdot m) + j \cdot (j \cdot m - k \cdot l) + k \cdot (k \cdot k - j \cdot l))

+ u \cdot (g \cdot (k \cdot m - l \cdot l) + h \cdot (k \cdot l - j \cdot m) + j \cdot (j \cdot l - k \cdot k))

+ v \cdot (g \cdot (k \cdot l - j \cdot m) + h \cdot (h \cdot m - k \cdot k) + j \cdot (j \cdot k - h \cdot l))

+ w \cdot (h \cdot (j \cdot k - h \cdot l) + j \cdot (g \cdot l - j \cdot j) + k \cdot (h \cdot j - g \cdot k))

}

/Nenner

Das hat viel Mühe gemacht. Deshalb hätte es mich schon interessiert, ob es Programme gibt, die einem solche Mühe abnehmen.
Ich darf mir erlauben, diese Frage in einen separaten thread zu stellen, damit niemand über den seitenlangen Text stopert.
http//www.onlinemathe.de/forum/mathcad

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