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Gleichungssystem lösen

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Matrizenrechnung

Tags: Gleichungssystem

Fluktuation23 aktiv_icon

21:46 Uhr, 12.08.2020

Ich habe folgende Gleichungen:

6 y^{2} - 6 x^{2} y - 6 x^{2} + 6 x y^{2} = 0

x^{2} + y^{2} = 2

Diese beiden Gleichungen haben die eindeutige Lösungsmenge

{(- 1, - 1), (1,1), (- 0.564579, 1.29663), (1.29663, - 0.564579)}

Das Problem ist nur, dass sobald ich das Gleichungssystem lösen möchte, indem ich zum Beispiel das Sechsfache der zweiten Gleichung auf die Erste addiere( um das

- 6 x^{2}

zu eliminieren), erhalte ich eine Gleichung, deren Lösungsmenge unendlich viele Punkte erhält, also

12 y^{2} - 6 x^{2} y + 6 x y^{2} = 12

Wie löse ich das Gleichungssystem oben richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

22:02 Uhr, 12.08.2020

1 .) 6 y^{2}

−

6 x^{2} y

−

6 x^{2} + 6 x y^{2} = 0

2 .) x^{2} + y^{2} = 2 \to y^{2} = 2 - x^{2} \to y = \pm \sqrt{2 - x^{2}}

1 .) y^{2}

−

x^{2} y

−

x^{2} + x y^{2} = 0

2 - x^{2} - x^{2} \cdot \sqrt{2 - x^{2}}

−

x^{2} + x \cdot (2 - x^{2}) = 0

2 - 2 x^{2} - x^{2} \cdot \sqrt{2 - x^{2}} + x \cdot (2 - x^{2}) = 0

...

.

So sollte es gehen.

mfG

Atlantik

Roman-22

22:50 Uhr, 12.08.2020

>

Das Problem ist nur, dass sobald ich das Gleichungssystem lösen möchte, indem ich zum Beispiel das Sechsfache der zweiten Gleichung auf die Erste addiere( um das −6x2 zu eliminieren), erhalte ich eine Gleichung, deren Lösungsmenge unendlich viele Punkte erhält

Natürlich! Wenn du eine beliebige Linearkombination der beiden Gleichungen bildest, wird

i . a

. immer eine Gleichung rauskommen, welche noch immer sowohl

x,

als auch

y

enthält.
Wenn du ein Gleichungssystem lösen möchtest, musst du doch so kombinieren, dass eine der Variablen völlig weg fällt.
ZB so wie Atlantik es vorgeschlagen hat. Aber Achtung - wenn du quadrierst, um die Gleichung zu lösen, wird die Probe idR zur Pflicht! Außerdem musst du zuzüglich zur Gleichung, die Atlantik am Ende angibt eine weiter lösen (wegen

\pm \sqrt{2 - x^{2}})

.

BTW, zusätzlich zu den vier reellen Lösungspaaren, welche du genannt hast, gibt es auch noch zwei nicht-reelle.

Alternativ zu Atlantiks Vorschlag könntest du in der ersten Gleichung

y^{2}

durch

2 - x^{2}

ersetzen und diese Gleichung dann nach

y

auflösen

\to y = \frac{- x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{x^{2}}

.
Das kannst du nun quadriert in die zweite Gleichung einsetzen und kommst auf

2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x^{4} + 2 x^{3} - 4 x - 2) = 0

x_{1,2} = \pm 1

ist klar und die Gleichung vierten Grades löst man nun wohl am Besten mit einem CAS ;-)
Ihre beiden reellen Lösungen sind

x_{3,4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \pm \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{2},

was gerundet die beiden von dir genannten Werten

1,297

und

- 0,565

ergibt.
Ich glaub jedenfalls nicht, dass man

x^{4} + 2 x^{3} - 4 x - 2 = (x^{2} + (1 - \sqrt{3}) \cdot x + 1 - \sqrt{3}) \cdot (x^{2} + (1 + \sqrt{3}) \cdot x + 1 + \sqrt{3})

so einfach sehen kann, um dann die Formel für quadratische Gleichungen anzuwenden.

Atlantiks Weg führt zwar auch auf (zwei) Gleichungen vierten Grades, jedoch lässt sich da jedesmal eine Lösung erraten

(\pm 1)

und man kann so die Gleichung auf eine kubische Gleichung reduzieren, welche man dann (auch nicht sehr freundlich) mit Cardano lösen kann.

Respon

03:59 Uhr, 13.08.2020

6 \cdot y^{2} - 6 \cdot x^{2} \cdot y - 6 \cdot x^{2} + 6 \cdot x \cdot y^{2}

faktorisieren

- 6 \cdot (- y^{2} + x^{2} \cdot y + x^{2} - x \cdot y^{2} + x \cdot y - x \cdot y) =

= - 6 \cdot (x \cdot (x \cdot y + x + y) - y \cdot (x \cdot y + x + y)) =

= - 6 \cdot (x - y) \cdot (x \cdot y + x + y)

1. Fall

(x - y) = 0

wurde abgehandelt

2. Fall

x \cdot y + x + y = 0

Geometrische Interpretation : Hyperbel, um 45° gedreht,

M (- 1 | - 1),

geht durch den Koordinatenursprung. Schnitt mit dem Kreis

x^{2} + y^{2} = 2

x + y = - x \cdot y

x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2} = x^{2} \cdot y^{2}

x^{2} + y^{2} = 2

\Rightarrow

x^{2} \cdot y^{2} - 2 \cdot x \cdot y - 2 = 0

{(x \cdot y)}_{1,2} = 1 \pm \sqrt{3}

x \cdot y < 0 \Rightarrow x \cdot y = 1 - \sqrt{3}

Das verbleibende Gleichungssystem

x + y = - 1 + \sqrt{3}

x^{2} + y^{2} = 2

läßt sich leicht lösen und liefert die 3. und 4. Lösung

ermanus aktiv_icon

11:09 Uhr, 13.08.2020

Hallo,
Respons Faktorisierung hat mir gut gefallen. Für
Algebra-Interessierte hier noch ein paar "theoretische Worte":
Setzt man

x

für

y

f (x, y) = y^{2} - x^{2} y - x^{2} + x y^{2}

ein, so bekommt man
das Nullpolynom.
Wir betrachten

f

als Polynom

g

y

mit Koeffizienten in

ℝ (x)

,
also

g (y) = (1 + x) y^{2} - x^{2} y - x^{2}

.
Es ist

x

eine Nullstelle von

g (y)

, also ist

f (x, y) = g (y) = (y - x) h (y)

mit einem Polynom

h \in ℝ (x) [y]

.
Gruß ermanus

Roman-22

11:50 Uhr, 13.08.2020

Ja, Respons Lösung ist sehr schön (und benötigt kein CAS ;-)
Für ihr

x \cdot y < 0

besteht aber noch Erklärungsbedarf. Letztlich könnte ja auch

x + y < 0

sein.

Respon

12:02 Uhr, 13.08.2020

Die Erklärung habe ich zur späten bzw. frühen Stunde übersprungen.

Das Gleichungssystem

x + y = - (1 \pm \sqrt{3})

x^{2} + y^{2} = 2

stellt geometrisch eine Gerade dar, die einen Kreis schneidet.
Reelle Schnittpunkte gibt es nur, wenn der Betrag des Abstandes der Geraden vom Koordinatenursprung

< \sqrt{2}

ist.

\Rightarrow . .

HAL9000

16:01 Uhr, 13.08.2020

@Respon

Eine wirklich schöne Lösung: Die beim naiven Herangehen zunächst ziemlich unzugänglich erscheinende Gleichung vierten Grades wird durch deine Betrachtung wunderbar "aufgebrochen". :-)

abakus

21:46 Uhr, 13.08.2020

"indem ich zum Beispiel das Sechsfache der zweiten Gleichung auf die Erste addiere"
Ein kleines, aber schmerzvolles "Autsch".
Die einfachere Variante (erste Gleichung durch 6 teilen) ist dir nicht eingefallen?

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