Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gleichungssystem mit Eigenwertzerlegung lösen

Gleichungssystem mit Eigenwertzerlegung lösen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Eigenwert, Matrizenrechnung

student11 aktiv_icon

11:27 Uhr, 23.07.2012

Hallo zusammen

Mir ist Eigenwertzerlegung ein Begriff und auch Gauss kenne ich :-)

Dennoch sehe ich die Verbindung nicht ganz..

Wir hatten die Aufgabe, einen Algorithmus zu finden, der

x

berechnet:

(A - σ \cdot I) \cdot x = b

, wobei A eine symmetrische nxn-Matrix,

σ

eine Diagonalmatrix und

b

ein Spaltenvektor ist.

Man hat jetzt beispielsweise

100

Sigma-Werte und

100

b-Werte gegeben und soll nun das

x

finden..
Dazu sei die Eigenwertzerlegung von A gegeben (da symmetrisch mit orthogonalen Spalten)

A = V \cdot D \cdot V^{T}

Wie kann hier vorgegangen werden? Kann es sein, dass man die

σ

einfach von

D

abziehen kann?

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:56 Uhr, 23.07.2012

Hallo,

ist

σ

wirklich eine DiagonalMatrix? Welchen Sinn hat dann die Multiplikation mit I (EinheitsMatrix?)? Oder ist

σ \in ℝ

?

gruß pwm

student11 aktiv_icon

11:58 Uhr, 23.07.2012

Sorry, ich habe mich da ein wenig vertan, habe zu vieles vermischt..

Hier nochmals die genaue Aufgabenstellung:

A \in R^{n x n},

fest gewählt, symmetrisch

100

Gleichungssysteme der Form

(A - σ_{j} \cdot I) \cdot x_{j} = b_{j}

für

j = 1, ...,100

(habe da wohl einiges vermixt vorher)

pwmeyer aktiv_icon

12:30 Uhr, 23.07.2012

Dann geht Folgendes:

(A - σ \cdot I) x = b \Leftrightarrow V (D - σ \cdot I) V^{T} \cdot x = b \Leftrightarrow (D - σ \cdot I) \cdot y = V^{T} \cdot b

mit

y = V^{T} \cdot x

Das ist ein lineares System für

y

mit eine Diagonalmatrix.

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

13:03 Uhr, 23.07.2012

Vielen Dank..

Also du erhältst den ersten Schritt mit:

A - σ \cdot I = V \cdot D \cdot V^{T} - σ \cdot I = V \cdot (D - V^{T} \cdot σ \cdot I \cdot V) \cdot V^{T} =

V \cdot (D - V^{T} \cdot σ \cdot V) \cdot V^{T} = V \cdot (D - σ \cdot V^{T} \cdot V) \cdot V^{T} = V \cdot (D - σ \cdot I) \cdot V^{T}

Also hat man

(D - σ \cdot I) \cdot V^{T} \cdot x = V^{T} \cdot b

\Leftrightarrow x = V \cdot {(D - σ \cdot I)}^{- 1} \cdot V^{T} \cdot b

So kann man für ein einzelnes

σ

den Wert bestimmen?

Dann hätte man (MATLAB)
I=eye(size(D,1));

for

i = 1 . . 100

x (i) = V \cdot {(D - σ (i) \cdot I)}^{- 1} \cdot V^{T} \cdot b (i);

end

Oder habe ich da was falsch verstanden?

(als Vorgabe war: Schrieben Sie ein möglichst effizientes Matlab-Programm, ohne den \-Operator und ohne weitere Zerlegungen vorzunehmen.. gegeben)

pwmeyer aktiv_icon

17:53 Uhr, 23.07.2012

, wobei natürlich