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Gleichungssystem mit Parameter

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichungssystem

Mario1993 aktiv_icon

20:05 Uhr, 08.02.2012

Hallo, ich habe Probleme mit folgenden 2 Parameteraufgabe:

a)

+ 2 y = 5

8 x +

= 10

b)

- 2 y = a

2 x -

= 2

Frage: Für welche Werte des Parameters a (Element aus den reellen Zahlen) liegt eine eindeutige Lösbarkeit vor?

Ich verstehe den Ansatz nicht, wie ich überhaupt ein

x

oder

y

herausbekomme. Bitte um Hilfe mit einer Rechnung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Mario1993 aktiv_icon

21:06 Uhr, 08.02.2012

Ok, die erste gleichung hätte sich erledigt

Mario1993 aktiv_icon

21:10 Uhr, 08.02.2012

die 2. auch! benötige keine antwort mehr

Mario1993 aktiv_icon

21:15 Uhr, 08.02.2012

oder eventuell doch :-D)
könnte mir jemand

a)

vorrechnen? habe zwar

x

und

y

wert raus, bei dem

y

wert taucht in der gleichung noch ein xwert auch, das gleiche beim

x

wert... weiß nicht, ob dies so stimmt

bsp

y = 2 x + a

x = 1 + 2 x - a

(nur als bsp, nicht auf die aufgabe bezogen)
glaube nicht,dass das so stimmt

KalleMarx aktiv_icon

00:05 Uhr, 09.02.2012

Moin Mario!

Äähm, nein! Das ist keine Lösung Deines Gleichungssystems. Du hast ja weder x noch y ausgerechnet, wobei mir die Herkunft der Gleichungen, die Du als Lösung vermutest, ziemlich schleierhaft ist. Die haben mit Aufgabe a) nichts zu tun.
Außerdem hast Du keine Antwort auf die Frage nach den Werten für a. Du musst x und y natürlich in Abhängigkeit des Parameters a bestimmen. Es macht den Eindruck, dass Du (lineare) Gleichungssysteme noch nicht kennst. Hast Du die 9. Klasse verpasst? ;o) Da wird das nämlich behandelt.

Hier also ein Crashkurs:
Du hast

n

Gleichungen mit

k

Unbekannten. Wenn

n = k

, lässt sich das System (meistens) eindeutig lösen, in anderen Fällen nicht unbedingt. Ich schreibe "meistens", weil es auch Systeme gibt, die, obwohl sie anscheinend genau so viele Unbekannte wie Gleichungen enthalten (

n = k

) trotzdem nicht lösbar sind. Das ist immer dann der Fall, wenn eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen Gleichung ist. Dadurch entfällt eine dieser beiden Gleichungen und es ist

n < k

.
Gleichungssysteme werden gelöst, indem die einzelnen Gleichungen miteinander so kombiniert werden, das durch jede dieser Operationen eine Unbekannte rausfällt und man schließlich nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten hat, die man dann lösen kann. Anschließend wird diese dann zur Lösung der verbliebenen Unbekannten verwendet.
Gleichungen können auf mindestens vier Arten miteinander kombiniert werden:
1. ineinander einsetzen (Einsetzungsverfahren)
2. Gleichsetzen (Gleichsetzungsverfahren, eigentlich ein Spezialfall von 1.)
3. Addieren (Additionsverfahren)
4. Subtrahieren (Subtraktionsverfahren, normaler Weise zählt man dies aber zum Additionsverfahren, da Du ja jede Subtraktion auch als Addition schreiben kannst.)

Manchmal werden Gleichungen auch durcheinander dividiert aber Vorsicht: Das kann ganz fix in die Hose gehen und sollte daher nur von erfahrenen Personen gemacht werden.

Hier die Rechnung zu Aufgabe a) unter Verwendung des Einsetzungsverfahrens:

I

a x + 2 y = 5

8 x + a y = 10

Stelle Gleichung I nach

y

um:

I'

y = \frac{5 - a x}{2}

In Gleichung II ersetzt Du das

y

durch die rechte Seite der Gleichung I':

II'

8 x + \frac{a}{2} (5 - a x) = 10

und löst nach

x

auf:

x = \frac{10 - 2, 5 a}{8 - 0, 5 a^{2}}

Das ist

x

. Nun setzt Du diesen Term für

x

wieder in Gleichung I' ein und erhältst

y

y = \frac{5}{2} - \frac{a}{2} \cdot \frac{10 - 2, 5 a}{8 - 0, 5 a^{2}}

Das ist also

y

. Da gefragt war, für welche Werte des Parameters das System eindeutig lösbar ist, musst Du abschließend untersuchen, welche reellen Zahlen

a

annehmen darf, ohne mathematische Gesetze zu verletzen. Offensichtlich kann nur ein Gesetz verletzt werden, nämlich das, dass Division durch Null nicht erklärt ist. Der Nenner des Bruches

\frac{10 - 2, 5 a}{8 - 0, 5 a^{2}}

könnte ja theoretisch Null werden. Um heraus zu finden, wann dies geschieht, setzt Du den Nenner Null:

0 = 8 - 0, 5 a^{2}

und rechnest das

a

aus:

a_{1, 2} = \pm 4

Also darf

a

nicht die Werte -4 und 4 annehmen. Die Antwort lautet demnach:
Für

a \in ℜ

und

a \neq \pm 4

ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

anonymous

13:20 Uhr, 09.02.2012

Ein Lob, KalleMarx hat sich schon viel Mühe gemacht.
Und er hat auch überwiegend recht.

a) a = - 4

Wenn man das in das Original-Gleichungssystem einsetzt, dann sieht man, das LGS ist widersprüchlich.

b) a = 4

Wenn man das in das Original-Gleichungssystem einsetzt, dann sieht man, das LGS ist linear abhängig.
Hier empfehle ich aber, die Brüche noch etwas "schöner" zu schreiben.
Dann erkennt man, dass es sich bei

a = 4

um eine behebbare Lücke handelt:

Aber ich denke, die Antwort von KalleMarx verdient schon

99

von

100

Punkten.

KalleMarx aktiv_icon

01:47 Uhr, 10.02.2012

Oh ja, das habe ich zu später Stunde übersehen.

Vielen Dank, cube.

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