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Gleichungssystem mit einer Lösung

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Tags: Funktion

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16:30 Uhr, 21.10.2020

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.

Aufgabe: Für welche reellen Zahlen a Element

R

hat das Lineare Gleichungssystem
I

a^{2} x + 2 y = - 1

x + 2 y = - a

a)

genau eine Lösung

b)

unendlich viele Lösungen

c)

keine Lösung

Ansatz:

b)

und

c)

habe ich schon gelöst.
Für

b)

komme ich auf

a = 1

und für

c)

auf

a = - 1

Ich bin der Meinung, dass a eigentlich alle Werte außer 1 und

- 1

annehmen kann, damit nur eine Lösung für

x

und

y

herauskommt.
Ist das korrekt und wenn ja, wie berechne ich das?

Würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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16:46 Uhr, 21.10.2020

a x^{2} + 2 y + 1 = x + 2 y + a

a x^{2} - x - a + 1 = 0

x^{2} - \frac{x}{a} - 1 + \frac{1}{a} = 0

pq-Formel: Diskrimante muss 0 werden:

{(\frac{1}{2 a})}^{2} - (- 1 + \frac{1}{a}) = 0

\frac{1}{4 a^{2}} + 1 - \frac{1}{a} = 0

1 + 4 a^{2} - 4 a = 0

a^{2} - a + \frac{1}{4} = 0

a_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}

a = \frac{1}{2}

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16:54 Uhr, 21.10.2020

Vielen Dank für deine Bemühungen.

In der ersten Zeile rechnest du direkt mit

a \cdot x^{2}

In meinen Aufgaben wir jedoch das a quadriert. Entweder verstehe ich nur nicht, wie du auf

x^{2}

kommst oder du hast dich ggf. Verlesen?

abakus

17:04 Uhr, 21.10.2020

Subtrahiere beide Gleichungen voneinander.
(a²-1)x=a-1
Für

a \neq \pm 1

wird daraus durch Division x=1/(a+1). Das geht für jedes

a \neq \pm 1

.
Umstellen von Gleichung 2 nach y liefert dann noch y=(-x-a)/2=-1/(2a+2) - a/2

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17:11 Uhr, 21.10.2020

Sorry, ich hab mich verlesen.
Der ganze Aufwand umsonst! Ärgerlich.

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18:04 Uhr, 21.10.2020

Vielen Dank für deine Bemühungen.
Dann war mein Ansatz ja gar nicht schlecht...:-)

Mir ist nur nicht ganz klar, wie du auf die letzte Umformung bei der 2. Gleichung kommst.

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18:11 Uhr, 21.10.2020

Welche Umformung meinst du?

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18:33 Uhr, 21.10.2020

(a^{2} - 1) \cdot x = a - 1

Gleichung durch

(a^{2} - 1)

teilen.

x = \frac{a - 1}{a^{2} - 1} \forall a \in R \ {- 1, 1}

3. binomische Formel ergibt, dass

a^{2} - 1 = (a + 1) \cdot (a - 1)

x = \frac{a - 1}{(a + 1) \cdot (a - 1)}

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19:21 Uhr, 21.10.2020

.
I

a^{2} x + 2 y = - 1

x + 2 y = - a

"Ich bin der Meinung, dass a eigentlich alle Werte außer 1 und

- 1

annehmen kann,
damit nur eine Lösung für

x

und

y

herauskommt.
Ist das korrekt und wenn ja, wie berechne ich das?"

\to

das ist korrekt

und dazu brauchst du nur die Koeffizienten-Determinante

D

untersuchen :

\to D = | \begin{matrix} a^{2} & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 2 a^{2} - 2

du bekommst immer genau eine Lösung für ein System genau dann, wenn

D \neq 0,

also hier, wenn

a^{2} \neq 1,

dh wenn

a \neq \pm 1 .

. damit ist Frage

a)

erledigt..

bei deiner Aufgabenstellung ist es also

n i c h t

erforderlich ,
zu versuchen, Lösungen für das System zu berechnen... :-)
.

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19:50 Uhr, 21.10.2020

Hat sich erledigt, bin selbst draufgekommen.

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19:51 Uhr, 21.10.2020

Danke :-)

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19:54 Uhr, 21.10.2020

Alles klar! Vielen Dank:-)

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