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Globales Minimum bestimmen

Schüler

Tags: minimieren

 
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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

12:17 Uhr, 20.06.2025

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Hallo,

ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:


Gegeben seien n,m>0,

p1,...,pnm,

d:m,xk=1n|x-pk|

mit |x-pk|:=l=1m(xl-pk,l)2 für alle 1kn,xm.

Bestimme ein τm, sodass d(τ) ein globales Minimum von d ist.



Ein erster, formaler Ansatz über das notwendige Kriterium 0=d'(τ)

bringt mich leider nicht mal eben ans Ziel:

0=d'(τ)=k=1nτ-pk|τ-pk|

k=1nτ|τ-pk|=k=1npk|τ-pk|

τk=1n1lnlk|τ-pl|=k=1npk1lnlk|τ-pl|

...



Kann jemand dieses Problem
("Finde für n Punkte im m einen Punkt,
für den die Summe seiner Abstände
(euklidische Norm) zu den n Punkten minimal ist.")
in der Mathematik verorten oder kennt
jemand vielleicht sogar eine Lösung ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

13:53 Uhr, 20.06.2025

Antworten
Für n=1 ist das Problem trivial: τ=p1

Für n=2 an sich auch: Alle Punkte τ der Verbindungsstrecke p1,p2, d.h. τ=λp1+(1-λ)p2 mit λ[0,1].

Für n=3 beginnt es kompliziert zu werden: Da ist τ der erste Fermat-Punkt ( de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Punkt )

Was für n4 passiert: Keine Ahnung - man findet rasch dazu das Stichwort "Weiszfeld-Algorithmus" hinsichtlich einer Approximation von τ.

Frage beantwortet
Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

21:11 Uhr, 20.06.2025

Antworten
Hallo HAL,

vielen Dank für Deine Antwort.
Zu den Fermatschen Punkten hat mich
ein erstes Investigieren auch schon
geführt. Mich interessiert aber mehr
die ganz allgemeine Formulierung oben
und am liebsten würde ich da die
euklidische Norm auch noch auf die
p-Norm verallgemeinern. Aber es scheint
wohl eines dieser Probleme zu sein,
die leicht zu formulieren, aber schwer
zu lösen sind.
Ich brauche mich also nicht zu schämen,
wenn ich mir die Lösung nicht mal eben
aus dem Ärmel schüttel...