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Globales Minimum beweisen in 2D-Funktion

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Funktionen

Funktionentheorie

Tags: Extrema, Funktion, Funktionentheorie, globales Minimum, mehrere Variablen

byjenseirik aktiv_icon

22:54 Uhr, 27.11.2017

Hallo zusammen.

Ich habe

m

Punkte der Art

(x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{m}, y_{m})

gegeben. Dazu habe ich eine Funktion

f (x, y) = \sum_{k = 1}^{m} ∣ (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) - (\begin{array}{rcl} x_{k} \\ y_{k} \end{array}) ∣^{2}

Ich soll nun zeigen, dass die Funktion ein globales Minimum an der Stelle

(\begin{array}{rcl} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) = \frac{1}{m} \sum_{k = 1}^{m} (\begin{array}{rcl} x_{k} \\ y_{k} \end{array})

hat.

Ich habe bereits gezeigt, dass

(\begin{array}{rcl} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) = : z

ein lokales Minimum ist. Nun soll ich argumentieren, dass dieses Minimum auch global ist.

Die Musterlösung verwendet die Dreieckungleichung und führt dann über ziemlich viele Unformungen und Abschätzungen den Beweis.

Ich hingegen meine, auch wie folgt argumentieren zu können: Ich habe bereits gezeigt, dass

z

das einzige lokale Minimum ist. Für ein globales Minimum kommen nur lokale Minima oder Randstellen infrage, und da

f

auf ganz

ℝ^{2}

definiert ist, sind dies die Bereiche, wo

x, y \to \infty

gehen. Wenn ich aber jeweils eine Koordinate nach

\infty

schicke, dann geht der Funktionswert

f (x, y)

ebenfalls gegen

\infty

. Deshalb kommen nur lokale Minima infrage und die Aussage ist bewiesen.

▫

Ist dieser Beweis auch korrekt oder übersehe ich hier etwas?
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

DrBoogie aktiv_icon

00:11 Uhr, 28.11.2017

"Wenn ich aber jeweils eine Koordinate nach ∞ schicke, dann geht der Funktionswert f(x,y) ebenfalls gegen ∞. "

Was ist aber mit anderen Wegen in die Unendlichkeit? Z.B. wenn

x_{n} = n, y_{n} = n^{2}

oder

x_{n} = \ln (n), y_{n} = \sqrt{n}

? Eine Koordinate nach Unendlich zu schicken reicht nicht, damit sind nicht alle Fälle abgedeckt.

byjenseirik aktiv_icon

07:47 Uhr, 28.11.2017

Ist mir schon klar, dass ich auf anderen Wegen in die Unendlichkeit kommen kann. Was ich aber behaupte: egal welchen Weg ich in die Unendlichkeit einschlage, mindestens eine Koordinate muss dann gegen unendlich gehen.
Sei das nun

x_{0} = \sqrt{n}

und

y_{0} = \ln n

für ein

n \to \infty

.
Geht

n

nicht gegen

\infty

, sieht die Sache logischerweise anders aus, aber dann müsste ein globales Minimum auch zugleich ein lokales Kinimum sein, was ich bereits gezeigt habe, dass es nicht möglich ist.

Daraus folgt m.M.n. die Aussage, denn sobald eine Koordiante gegen

\infty

geht, geht auch

f (x, y) \to \infty

Mache ich hier einen grundlegenden Denkfehler?

DrBoogie aktiv_icon

08:22 Uhr, 28.11.2017

"Mache ich hier einen grundlegenden Denkfehler?"

Nein. Für meine Begriffe ist es auch offensichtlich, dass die Funktion in Unendlichkeit unendlich wird, egal wie man Unendlichkeit erreicht. Aber ich kann mir vorstellen, dass Deine Argumentation für einen ganz pingeligen Prüfer nicht streng genug ist.

byjenseirik aktiv_icon

10:06 Uhr, 28.11.2017

Okay. Das kann gut sein, ist mir allerdings ziemlich egal, schlussendlich geht es ja darum, dass ich den Stoff verstanden habe.
Danke!

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