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Globales Minimum einer stetigen Funktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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09:24 Uhr, 16.12.2022

Hallo!

Ich weiß bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter:
"Sei

f : ℝ \to ℝ

stetig mit

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty

.
Zeigen Sie, dass f ein globales Minimum hat."

Ich hab da sofort an den Satz von Weierstraß gedacht, aber ich habe ja leider kein beschränktes abgeschlossenes Intervall als Definitionsmenge. Wie gehe ich hier vor?

Danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

10:11 Uhr, 16.12.2022

> aber ich habe ja leider kein beschränktes abgeschlossenes Intervall als Definitionsmenge.

Man kann das aber leicht auf diesen Fall reduzieren: Betrachte irgendeinen Punkt

x_{0}

und zugehörigen Funktionswert

y_{0} = f (x_{0})

.

Nun besagt

lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty

, dass es zu jedem reellen Wert

L

ein

a

gibt mit

f (x) > L

für alle

x \leq a

, das gilt auch für

L = y_{0}

. Analog gibt es wegen

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

ein

b

mit

f (x) > y_{0}

für alle

x \geq b

.

Damit ist gewährleistet, dass das Minimum der Funktionswerte des Intervalls

[a, b]

, welches ja garantiert

\leq y_{0}

ist, tatsächlich globales Minimum der gesamten Funktion ist.

PhysikKatze aktiv_icon

10:44 Uhr, 16.12.2022

Vielen Dank! :-)

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