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Goldene Spirale, Berechnung der Bogenlänge

Schüler Primarschule, 6. Klassenstufe

Tags: Goldene, Quatrant, Radius, Spirale

gerandi aktiv_icon

20:05 Uhr, 18.08.2009

Für die Lösung eines Problems auf welches ich während meines Hobbys Geocaching stieß, brauche ich ein wenig Hilfe.

Eine Frau bewegt sich genau westwärts von Punkt A mit einer Geschwindigkeit

v

zum Treffpunkt B. Zum gleichen Zeitpunkt befindet sich der Mann genau nördlich von Punkt A am gesuchten Punkt

C

und bewegt sich mit doppelter Geschwindigkeit

2 \cdot v

ebenfalls zum Treffpunkt

B,

dabei passt er stets seine Richtung an.

Meine Überlegung ging soweit, daß es sich um eine Spirale handeln muß deren Bogenlänge von 90°

(C

nach

B)

genau doppelt lang ist wie die Grade von A nach B.

Meine Recherche ergab, das es sich um eine logarithmische Spirale handeln müsste, im Speziellen um eine goldene. Leider finde ich keine Formel zur Berechnung und hoffe das man mir hier helfen kann.

Vielen Dank und Liebe Grüße,
gerandi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

gerandi aktiv_icon

20:56 Uhr, 18.08.2009

Wie so oft, ist das Problem erstmal niedergeschrieben kommen einem die Ideen.

Zumindest näherungsweise sollte auch eine Ellipse gehen, dann wäre a (langer Radius) gesucht und

b

(kurzer Radius) die Länge der Strecke AB, sowie die Bogenlänge bei 90° von

\frac{L}{4} = 2 \cdot b

8 \cdot b = L = π (a + b) [1 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{4}}{64} + \frac{y^{6}}{256} + \frac{y^{8}}{16384} + ...]

mit

y = \frac{a - b}{a + b}

Für Strecke AB

= b = 211.42 m

komme ich mit dem Solver von Excel auf eine Strecke AC

= a = 321,27 m

Liebe Grüße,
gerandi

gerandi aktiv_icon

20:56 Uhr, 18.08.2009

Wie so oft, ist das Problem erstmal niedergeschrieben kommen einem die Ideen.

Zumindest näherungsweise sollte auch eine Ellipse gehen, dann wäre a (langer Radius) gesucht und

b

(kurzer Radius) die Länge der Strecke AB, sowie die Bogenlänge bei 90° von

\frac{L}{4} = 2 \cdot b

8 \cdot b = L = π (a + b) [1 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{4}}{64} + \frac{y^{6}}{256} + \frac{y^{8}}{16384} + ...]

mit

y = \frac{a - b}{a + b}

Für Strecke AB

= b = 211.42 m

komme ich mit dem Solver von Excel auf eine Strecke AC

= a = 321,27 m

Liebe Grüße,
gerandi

DK2ZA aktiv_icon

21:28 Uhr, 18.08.2009

Google mal nach "Hundekurve".

GRUSS, DK2ZA

gerandi aktiv_icon

00:12 Uhr, 19.08.2009

Danke DK2ZA, das hilft mir weiter, zwar ist die Mathematik dahinter für mich zu kompliziert, ich habe aber dann doch noch etwas gefunden womit ich umgehen kann:

http//www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/74092/7920.html

- - - - - - - -

Ein Gefangener läuft vom Punkt

(\frac{0}{0})

entlang der y-Achse mit konstanter Geschwindigkeit.
Zur gleichen Zeit startet ein Hund vom Punkt

(\frac{1}{0})

.
Der Hund läuft immer genau auf den Gefangenen zu und läuft doppelt so schnell wie dieser.

Die Kurve des Hundes ist:

y = \frac{1}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 2)

- - - - - - - -

Damit komme ich auf

a = b \cdot \frac{3}{2} = 317,13 m

Da war ich gar nicht soweit weg. :-)

Liebe Grüße,
gerandi

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