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Goniometrie

Schüler

Tags: Lösung bekannt

Visocnik aktiv_icon

08:38 Uhr, 31.05.2012

Ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung: L = -2Pi und + 2 Pi

Aufgabe:
3*sin^2(x) - 13*sin(x).cos(x) + 4*cos^2(x) = 0

Mein Zwischenergebnis, das noch stimmen könnte:
cos^2(x) - 13*sin(x)*cos(x) + 3 = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

funke_61 aktiv_icon

09:20 Uhr, 31.05.2012

3 {sin}^{2} x - 13 sin x cos x + 4 {cos}^{2} x = 0

die

3 {sin}^{2} x

und die

4 {cos}^{2} x

und das

- 13 sin x cos x

schauen irgendwie aus, als ob man die linke Seite in ein Produkt

(sin x - a cos x) (b sin x - cos x)

umwandeln könnte.
Wenn man diesen Ansatz ausmultipliziert ergibt das:

(b {sin}^{2} x - sin x cos x - a b sin x cos x + a {cos}^{2} x)

Mittlere beiden Faktoren zusammengefasst:

(b {sin}^{2} x - (a b + 1) sin x cos x + a {cos}^{2} x)

mit

b = 3

a = 4

ergibt sich

(a b + 1) = (4 \cdot 3 + 1) = 13

Damit kann die gegebene Gleichung umgeformt werden in

(sin x - 4 cos x) (3 sin x - cos x) = 0

Jetzt hast Du zwei Faktoren, die jeweils NUll gesetzt werden können.
("Wenn einer von zwei Faktoren NULL ergibt, ist das ganze Produkt NULL")

Visocnik aktiv_icon

09:27 Uhr, 31.05.2012

Ich werde gleich versuchen, so weiterzukommen. Vorerst danke für deine liebevolle und schnelle Hilfe!

funke_61 aktiv_icon

09:31 Uhr, 31.05.2012

Dankeschön für diese Rückmeldung :-)

funke_61 aktiv_icon

09:35 Uhr, 31.05.2012

Ich glaube aber nicht, dass die von Dir angegebene Lösung stimmen kann.
Eher glaube ich, dass Du die Lösungen im Intervall

[- 2 π, 2 π]

suchen sollst.

Atlantik aktiv_icon

09:59 Uhr, 31.05.2012

Ich habe noch einen Weg für die faktorielle Zerlegung:

3 {sin}^{2} x - 13 sin x cos x + 4 {cos}^{2} x = 0

Substitution

3 u^{2} - 13 u v + 4 v^{2} = 0 | : 3

u^{2} - \frac{13}{3} u v + \frac{4}{3} v^{2} = 0

(u - x) (u - y) = 0

Nun gilt:

- y + (- x) = - \frac{13}{3}

und

x \cdot y = \frac{4}{3}

A) y + x = \frac{13}{3}

B) x \cdot y = \frac{4}{3}

... ... ... ... ... ... ... ... ...

A) y = \frac{13}{3} - x

x \cdot (\frac{13}{3} - x) = \frac{4}{3}

x_{1} = 4

und

y_{1} = \frac{13}{3} - 4 = \frac{1}{3}

Ergibt:

(u - 4 v) \cdot (u - \frac{1}{3} v) = 0

(sin x - 4 cos x) (sin x - \frac{1}{3} cos x) = 0

mfG

Atlantik

Visocnik aktiv_icon

10:28 Uhr, 31.05.2012

Bitte vielmals um Entschuldigung. Ich habe erst jetzt den Übungszettel in die Hände bekommen. Da steht zu Beginn:
Lösungen durchwegs im Bogenmaß (RAD!!) auf vier Dezimalstellen genau angeben. Löse alle goniometrischen Gleichungen in den jeweiligen vorgegebnen Grundmengen!
Als Lösung steht daneben: G = (-2Pi, 2Pi)

Ich glaube, dass die Aufgabe leichter zum Lösen gehen müsste. Eure Lösungen sind schon sehr kompliziert - zumindest für mich.

Visocnik aktiv_icon

10:33 Uhr, 31.05.2012

Lieber Atlantik!
Danke für deine Hilfe. Ich muss jetzt zum Arzt, ich werde aber deine Lösungsmöglichkeit nachmittags nachrechnen. Als Probe kann ich doch 2Pi oder -2Pi beim Ergbnis einsetzen, oder? Dann müsste eine wahre Aussage herauskommen.
Beim Ergebnis von funke_61 ist mir das nicht gelungen, es kommt immer -4 = 0
heraus (also keine w. A.) Da muss ich doch irgendwo einen Rechenfehler gemacht haben.
lg
Team

Bummerang

10:36 Uhr, 31.05.2012

Hallo,

irgendwie habt ihr euch verrannt, der Weg von Visocnik geht doch auch...

3 \cdot {sin}^{2} (x) - 13 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + 4 \cdot {cos}^{2} (x) = 0

3 \cdot {sin}^{2} (x) + 3 \cdot {cos}^{2} (x) - 13 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + {cos}^{2} (x) = 0

3 \cdot ({sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)) - 13 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + {cos}^{2} (x) = 0

3 \cdot 1 - 13 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + {cos}^{2} (x) = 0

3 - 13 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + {cos}^{2} (x) = 0

3 + {cos}^{2} (x) = 13 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

3 + {cos}^{2} (x) = \pm 13 \cdot \sqrt{1 - {cos}^{2} (x)} \cdot cos (x)

9 + 6 \cdot {cos}^{2} (x) + {cos}^{4} (x) = 169 \cdot (1 - {cos}^{2} (x)) \cdot {cos}^{2} (x)

9 + 6 \cdot {cos}^{2} (x) + {cos}^{4} (x) = 169 \cdot {cos}^{2} (x) - 169 \cdot {cos}^{4} (x)

9 - 163 \cdot {cos}^{2} (x) + 170 \cdot {cos}^{4} (x) = 0

z = {cos}^{2} (x)

9 - 163 \cdot z + 170 \cdot z^{2} = 0

\frac{9}{170} - \frac{163}{170} \cdot z + z^{2} = 0

z_{1,2} = \frac{163}{340} \pm \sqrt{\frac{163^{2}}{340^{2}} - \frac{9 \cdot 2 \cdot 340}{340^{2}}}

z_{1,2} = \frac{163}{340} \pm \frac{1}{340} \cdot \sqrt{26569 - 6120}

z_{1,2} = \frac{163}{340} \pm \frac{1}{340} \cdot \sqrt{20449}

z_{1,2} = \frac{163}{340} \pm \frac{143}{340}

z_{1} = \frac{163}{340} - \frac{143}{340} = \frac{20}{340} = \frac{1}{17}

z_{2} = \frac{163}{340} + \frac{143}{340} = \frac{306}{340} = \frac{9}{10}

{cos}^{2} (x) = \frac{1}{17} \Rightarrow cos (x) = \pm 0,24253562503633297351890646211612

\Rightarrow x_{1} = 1,3258176636680324650592392104285 + 2 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{2} = - 1,3258176636680324650592392104285 + 2 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{3} = 1,815774989921760773403404172851 + 2 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{4} = - 1,815774989921760773403404172851 + 2 \cdot k \cdot π

{cos}^{2} (x) = \frac{9}{10} = cos (x) = \pm 0,94868329805051379959966806332982

\Rightarrow x_{5} = 0,32175055439664219340140461435866 + 2 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{6} = - 0,32175055439664219340140461435866 + 2 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{7} = 2,8198420991931510450612387689208 + 2 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{8} = - 2,8198420991931510450612387689208 + 2 \cdot k \cdot π

Wegen der nichtäquivalenten Umformung beim Quadrieren sind aus den 8 Lösungen noch die Scheinlösungen mittels einer Probe zu eliminieren! Als allgemeine Lösungen sollten sich

x_{1}, x_{4}, x_{5}

und

x_{8}

ergeben. Daraus ermittelt man leicht die Lösungen im vorgegebenen Intervall, indem man

k

aus

{- 1,0,1}

auswählt und einsetzt! Bei den negativen Werten braucht man

k = - 1

nicht zu einzusetzen, bei den positiven

k = 1

nicht. Für

k = 0

steht das Ergebnis ja bereits da...

funke_61 aktiv_icon

10:54 Uhr, 31.05.2012

Im Übungsblatt stand ja:
"Löse alle goniometrischen Gleichungen in den jeweiligen vorgegebnen Grundmengen!
Als Lösung steht (wahrscheinlich) daneben:

G = [- 2 π, 2 π]

G

ist also die "Grundmenge" in der die Lösungen liegen sollen, die Du finden sollst.
Deshalb sollen hier wie ich oben schon vermutet habe, die Lösungen
(es gibt eigentlich unendlich viele, da Winkelfunktionen periodisch sind)
zwischen

- 2 π

und

2 π

liegen.

- 2 π

und

2 π

sind wirklich keine Lösungen, wie Du mit einer Probe nachweisen kannst!

Bitte multipliziere doch einfach mal das aus, was ich vorgeschlagen habe:

(sin x - 4 cos x) \cdot (3 sin x - cos x) = 0

3 {sin}^{2} x - sin x cos x - 12 sin x cos x - 4 {cos}^{2} x = 0

also vereinfacht:

3 {sin}^{2} x - 13 sin x cos x - 4 {cos}^{2} x = 0

dies ist wieder die Aufgabe, die gelöst werden soll, also stimmt meine Umformung.

Atlantiks Umformung ist der allgemeine Weg, der immer klappt um solche Aufgaben in Faktoren zu zerlegen.
(Und zugegeben: Für meine Umformung habe ich erst etwas nachdenken müssen)

Es wäre schön, wenn sich diese Aufgabe noch einfacher lösen lassen würde, vielleicht hat ja noch jemand eine Idee.
;-)

Bummerang

11:49 Uhr, 31.05.2012

Hallo,

"Atlantiks Umformung ist der allgemeine Weg, der immer klappt um solche Aufgaben in Faktoren zu zerlegen." - Aber nur dann, wenn sie sich reell zerlegen lassen!!!

funke_61 aktiv_icon

12:33 Uhr, 31.05.2012

ja, "nur wenn sie sich reell zerlegen lassen".
Aber wenn sich keine derartige Zerlegung in Faktoren machen lässt, dann gibt es doch auch keine reellen Lösungen für die entsprechende Aufgabenstellung, oder?

funke_61 aktiv_icon

13:50 Uhr, 31.05.2012

Nochmal mein Lösungsansatz:

3 {sin}^{2} x - 13 sin x cos x + 4 {cos}^{2} x = 0

Zerlegung in Faktoren, wie oben gezeigt:

(sin x - 4 cos x) (3 sin x - cos x) = 0

Wenn einer von zwei Faktoren NULL ergibt, ist das ganze Produkt NULL. Damit ist die Bestimmungsgleichung erfüllt. Also:

sin x - 4 cos x = 0

und

3 sin x - cos x = 0

sin x = 4 cos x

und

3 sin x = cos x

\frac{sin x}{cos x} = 4

und

\frac{sin x}{cos x} = \frac{1}{3}

tan x = 4

und

tan x = \frac{1}{3}

Die Lösungen der Gleichung

tan x =

const

haben die Periode

π

Aus diesen beiden Bestimmungsgleichungen lassen sich die Lösungen

x = k π + a r c tan (4)

und

x = k π + a r c tan (\frac{1}{3})

mit

k \in ℤ

finden, die in der Grundmenge

[- 2 π, 2 π]

liegen.
Diese Lösungen sind natürlich identisch mit Bummerangs Lösungen

Shipwater aktiv_icon

14:03 Uhr, 31.05.2012

@ funke_61: Man sollte aber vielleicht noch erwähnen, warum man hier ohne weiteres durch

cos (x)

dividieren darf.

Visocnik aktiv_icon

16:24 Uhr, 31.05.2012

Zuerst einmal allen ein herzliches Dankeschön für die viele Mühe, die Ihr euch gemacht habt. Danke! Danke!
Ich muss mich korrigieren. Du hast wahrscheinlich recht, lieber funke_61, das, was daneben steht, ist nicht die Lösung, sondern das Intervall! Frage: was ändert das an der Aufgabe? Wer hat nun die Aufgabe am einfachsten gelöst und das richtige Ergebnis erhalten. Für mich ist und bleibt diese Aufgabe schwierig. Vielen Dank für deine Bemerkung "Ich habe zuerst auch ein wenig nachdenken müssen!" Das gibt mir wieder Mut!
Kannst du mir auch noch sagen, warum man durch cos (x) so einfach dividieren kann?

Atlantik aktiv_icon

16:46 Uhr, 31.05.2012

Warum darf man durch

cos x

dividieren:
Es gilt allgemein die Regel: eine Gleichung verändert sich nicht , wenn man auf beiden Seiten dieselbe Operation durchführt:( außer durch 0 dividieren!)

sin x - 4 cos x = 0 | + 4 cos x

sin x = 4 cos x | : cos x

\frac{sin x}{cos x} = 4

tan x = 4

Oder anders:

sin x - 4 cos x = 0

{sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1

ist, gilt

cos x = \sqrt{1 - {sin}^{2} x}

sin x - 4 \sqrt{1 - {sin}^{2} x} = 0

sin x = 4 \sqrt{1 - {sin}^{2} x}

Beide Seiten quadrieren

{sin}^{2} x = 16 (1 - {sin}^{2} x)

mfG

Atlantik

Shipwater aktiv_icon

17:02 Uhr, 31.05.2012

Genau Atlantik, "außer durch 0 dividieren!". Nun kann

cos (x)

doch sogar für unendlich viele

x

zu null werden. Es ist also nicht immer gestattet ohne weiteres durch

cos (x)

zu dividieren. Dafür betrachte man zum Beispiel mal die Gleichung

cos (x) = 2 cos (x)

. Dividieren durch

cos (x)

würde

1 = 2

ergeben also keine Lösung. Dadurch sind nun unendlich viele Lösungen verloren gegangen, denn die Gleichung

cos (x) = 2 cos (x)

wird von allen Nullstellen des Kosinus gelöst (wer es nicht gleich sieht, subtrahiere auf beiden Seiten

cos (x))

Deshalb meine ich, dass man zumindest kurz erwähnen sollte warum man zum Beispiel bei

sin (x) = 4 cos (x)

durch

cos (x)

dividieren darf ohne Lösungen dabei zu verlieren. Ist ja nicht weiter schwierig, denn keine Nullstelle des Kosinus löst die Gleichung

sin (x) = 4 cos (x)

. Das liegt also letztlich daran, dass Sinus und Kosinus keine gemeinsame Nullstelle besitzen. Und nochwas Atlantik: Die Lösungsmenge kann sich auch dann verändern, wenn man auf beiden Seiten die selbe Operation durchführt. Multiplizieren mit 0 kann zum Beispiel aus jeder beliebigen Lösungsmenge die Lösungsmenge

ℝ

machen (wenn

ℝ

die Grundmenge ist). Oder das Quadrieren kann die Lösungsmenge auch beeinflussen. So ist die Lösungsmenge von

1 = - 1

leer, die von

1^{2} = {(- 1)}^{2}

hingegen alles andere als leer.

Visocnik aktiv_icon

17:43 Uhr, 31.05.2012

Nochmals allen herzlichen Dank, die mich so ausdauernd betreut haben. Die Aufgabe war sicher nicht uninteressant, das zeigen mir eure Kommentar.
lg
Team

Atlantik aktiv_icon

18:27 Uhr, 31.05.2012

@shipwater,

danke Dir für deine prima Erläuterungen!

mfG

Atlantik

funke_61 aktiv_icon

08:53 Uhr, 01.06.2012

Auch ich Danke Dir von ganzem Herzen, Shipwater.
Deine Erläuterungen sind auch für mich immer wieder sehr wertvoll.
Ich beteilige mich hier ja nicht nur, weil ich helfen möchte, sondern auch damit meine grauen Zellen "nicht einrosten". Und gerne lerne ich immer wieder Neues dazu bzw. frische ich Altes, "Verschüttetes" auf.

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