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Goniometrische Gleichung 1 - cos (x) = six (x)

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstig

MacMc aktiv_icon

19:28 Uhr, 16.01.2020

Hallo Leute,

ich habe hier eine goniometrische Gleichung

1 - cos (x) = sin (x)

mit beigefügter Angabe und Lösung, Aufgabe

f

.

Ich bräuchte hier bitte eine kurze Erläuterung, warum man speziell beim ersten Rechenschritt in der Lösung so vor geht, dass man

\frac{x}{2} + \frac{x}{2}

hinzufügt. Warum diese Vorgehensweise?

Habt vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

19:34 Uhr, 16.01.2020

"Warum diese Vorgehensweise?"
Um die Doppelwinkelformel anwenden zu können.
Es geht aber auch anders, z.B. so:
Aus 1-cos(x)=sin(x) folgt
1=cos(x)+sin(x)
1²=cos²(x)+sin²(x) + 2 sin(x)cos(x)
1=1 + 2 sin(x)cos(x)
0= 2 sin(x)cos(x)
0= sin(2x)
Löse diese Gleichung und sondere mit einer Probe die nicht zutreffenden Scheinlösungen aus (Quadrieren ist kein Äquivalenzumformung).

HAL9000

21:40 Uhr, 16.01.2020

Und ein dritter Weg, auch mit Additionstheoremen:

1 = \cos (x) + \sin (x)

\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos (x) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (x) \sin (\frac{π}{4})

\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos (x - \frac{π}{4})

\pm \frac{π}{4} + 2 k π = x - \frac{π}{4}

x = \frac{π}{4} \pm \frac{π}{4} + 2 k π

,

d.h. die zwei Lösungsscharen

2 k π

und

\frac{π}{2} + 2 k π

in ganz

ℝ

. Bei Einschränkung auf

[0, 2 π]

bedeutet das drei Lösungen

0

2 π

und

\frac{π}{2}

.

Probe nicht nötig, da alle Umformungen äquivalent.

MacMc aktiv_icon

17:40 Uhr, 20.01.2020

Euch allen vielen herzlichen Dank für Eure Hilfe. Alle Eure Antworten haben mir sehr weitergeholfen!

- Mark

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