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Grad der Körpererweiterung
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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Ich habe eine kleine doofe Frage zum Fall, wenn ich den Grad der Körpererweiterung mit dem Gradsatz berechnen soll. Nehmen wir als Beispiel: und ich soll berechnen. Dann kann ich ja folgende Gleichungen aufstellen: sowie und , was man sehr leicht sieht. Entsprechend muss 6=kgV(2,3), teilen. Soweit ist mir alles klar. Wie berechne ich aber bzw. ? Als Begründung ist folgende: Das Minimalpolynom über von teilt , was ja das Minimalpolynom von über ist. Die Folgerung ist dann logisch... und damit folgt mit dem anderen Fall, der analog verläuft: . Aber wieso teilt das MiPo über von , ? Vielen Dank schon im Voraus LG Didgi |
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Ja, denn wenn das MiPo über ist, dann heißt das, dass eine Nullstelle des Polynomes ist, sich jedoch kein Polynom kleineren Grades davon absplitten lässt. Letzteres liegt daran, dass die Koeff. des MiPo aus kommen. Es lässt sich jedoch kein Polynom kleineren Grades mit rat. Koeff. und Nullstelle konstruieren. Betrachtest du nun dasselbe Polynom über , so kommen ja nur mögliche Koeffizienten hinzu, nämlich alle Zahlen der Form für . Somit gibt es mehr mögliche Polynome, von denen eine Nullstelle ist. Also gibt es nur den Fall hat keinen Teiler (dann bleibt das MiPo gleich und die Körpererweiterung hat Grad 3), oder es gibt einen Teiler dieses Polynoms, dann gibt es ein MiPo mit kleinerem Grad (dann hat die Körpererweitertung Grad 1 oder 2). Letztendlich prüft man alle 3 Fälle nach (Grad 1 bedeutet z.B., dass ist, was offensichtlich falsch ist). |
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Ach, so. Ja, klar!! Danke vielmals! :-) |
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