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Grad des Minimalspolynoms

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Körpererweiterung, Minimalpolynom, polynom

 
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Aegon

Aegon aktiv_icon

10:59 Uhr, 16.06.2016

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Hallo,

ich lese häufig dass man den Grad des Minimalpolynoms eines Elements a durch die Dimension der Körpererweiterung (sei K Körper, dann durch [K(a):K] erhält, wieso ist das so?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

11:35 Uhr, 16.06.2016

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Hallo,

für über einem Körper K algebraische Elemente a gibt es ein nicht konstantes Polynom p∈K[x], sodass p(a)=0 gilt.
Wenn du K[a] als Erweiterungskörper über K betrachtest, so ist das ja insbesondere ein Vektorraum über K mit der Körperaddition als Vektorraumaddition und der Körpermultiplikation (beschränkt auf K) als Skalarmultiplikation.
Da kann ich mich ja nun fragen, welche der Mengen Mn:={ak∣k∈ℕ mit k≤n} noch linear unabhängig sind bzw. welche zuerst linear abhängig ist.
Die erste linear abhängige nennen wir mal Mg, woraus folgt, dass Mg-1 noch linear unabhängig ist. Dann ist die Gleichung λgag+λg-1ag-1+…+λ0=0 lösbar mit nicht trivialen λi (0≤i≤g).

Damit ist Mg-1 dann eine Basis und ∣Mg-1∣=g-1+1=g die Dimension des K-Vektorraums K[x]. Außerdem ist g der Grad des Minimalpolynoms.
Gäbe es nämlich ein nicht konstantes Polynom kleineren Grades als g und h sein Grad, so müsste schon Mh linear abhängig sein, was der Wahl von g widerspricht.

Mfg Michael
Frage beantwortet
Aegon

Aegon aktiv_icon

16:36 Uhr, 16.06.2016

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Alles klar, danke!