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Grad einer Nullfunktion

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Tags: Funktion, Grad einer, Nullfunktion

tom0815 aktiv_icon

19:32 Uhr, 12.06.2017

Moin Zusammen,

das der Grad einer Nullfunktion unterschiedlich definiert wird (als null, minus unendlich,

- 1,

etc.) wird ja überall angegeben.

Interessieren würde mich mal warum das so ist. Null leuchtet mir ein, der Rest allerdings nicht. Kann jemand helfen?

Vielen Dank und Grüße!
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

19:54 Uhr, 12.06.2017

Hallo,

Überlege, wie sich der Grad des Produkts beidenn Graden der beiden Faktoren berechnet, dann wird dir klar, warum der Grad

- \infty

sein muss.

MFG Michael

tom0815 aktiv_icon

22:07 Uhr, 12.06.2017

Danke für den Hinweis, komme aber noch immer nicht richtig weiter. Also wie der sich berechnet... hmmm... ich gehe mal von der "häufigsten" Definition aus. Die besagt, der Grad einer (ganzrationalen) Funktion dem höchsten Exponent im Funktionsterm entspricht. Demnach wäre bei:

\cdot f (x) = a \cdot x^{2}

(Grad=2)

\cdot f (x) = a \cdot x^{1} = a \cdot x

(Grad=1)

\cdot f (x) = a \cdot x^{0} = a \cdot 1 = a

(Grad=0)

z . B

f (x) = 4

(Grad=0)

warum für

f (x) = 0

der Grad nicht mehr zwangsläufig als Null sondern

z . B

. als "minus unendlich" definiert wird, erschließt sich mir aber nicht. Vermutlich ist mir noch nicht ganz klar, worauf Du hinaus willst. Ein bisschen Starthilfe wäre super.

michaL aktiv_icon

22:33 Uhr, 12.06.2017

Hallo,

> Ein bisschen Starthilfe wäre super.

Ich habe eigentlich schon alles im vorherigen posting geschrieben.
Mache dir klar, wie der Grad eines Produktpolynoms aus den Graden seiner Faktoren berechnet wird. (Dafür gibt es eine Formel, ermittle die!)

Wenn man möchte, dass diese Formel auch dann erhalten bleiben soll, wenn man mit dem Nullpolynom multipliziert, ist

\deg (0) = - \infty

zwangsläufig!

Es ist halt ein Unterschied, ob ich mit dem Nullpolynom oder irgend einem anderen konstanten Polynom ungleich Null multipliziere.

Mfg Michael

tom0815 aktiv_icon

23:45 Uhr, 13.06.2017

Moin Michal, danke nochmal... das kann ich nachvollziehen (auch ohne die Gleichung zur Berechnung genau zu kennen).

Die Gleichung zur Berechnung der Potenz würde ich versuchen aus

x^{y} = y

zu ermitteln, dann nach

y

auflösen, ist das der richtige Ansatz, oder bin ich auf dem völlig falschen Dampfer? Danke! Ich könnte mir vorstellen dass die Problematik der Definition von

0^{0}

hier zum Tragen kommt (die ich mir, ehrlich gesagt schon länger nicht mehr im Detail angeguckt habe).

michaL aktiv_icon

05:20 Uhr, 14.06.2017

Hallo,

offenbar liegt du sehr daneben. Kein Wunder, dass dir mein posting nicht geholfen hat.
Versuche dir klarzumachen, dass wenigstens für

\deg (f), \deg (g) > 0

gilt:

\deg (f \cdot g) = \deg (f) + \deg (g)

Und nun mit

f

als dem Nullpolynom...

MFG Michael

tom0815 aktiv_icon

08:05 Uhr, 14.06.2017

ja, mag daran liegen, dass ich keinen sonderlich umfangreichen mathematischen Hintergrund habe, und die paar Mathekurse aus der Uni, schon ein Weilchen her sind ;-)

Ich hab mir das mal an einem Beispiel klar gemacht...

deg(f) ist der Grad der der Funktion

f

deg(g) ist der Grad der der Funktion

g

Es muss gelten: deg(f⋅g)=deg(f)+deg(g)

Für "Polynome

>

f : f (x) = x^{3}

g : g (x) = x^{4}

deg(f)=3
deg(g)=4

deg(f)+deg(g) wäre demnach

3 + 4 = 7

deg(f*g) deg(x^3*x^4=x^7)=7

7 = 7 \to

also alles ok

Jetzt mit der Nullfunktion:

f : f (x) = 0

g : g (x) = x^{4}

Angenommen:
deg(f)=0
deg(g)=4

deg(f)+deg(g) wäre demnach

0 + 4 = 4

deg(f*g) deg(0*x^4=0)=0

4 = 0 \to

ok, ich sehe das Problem

Angenommen:
deg(f)=-unendlich
deg(g)=4

deg(f)+deg(g) wäre demnach -unendlich+4=-unendlich
deg(f*g) deg(0*x^4=0)=-unendlich
-unendlich = -unendlich

Dann hätte ich diesbezüglich zwei Fragen:

\cdot

Bezüglich des Beispiels, kann der Grad einer Nullfunktion nicht 0 sein. Bei -unendlich gehts (zumindest in diesem Beispiel). Stellt sich noch die Frage warum -unendlich und nicht +unendlich?

\cdot

Bei meiner Überlegung einfach gefehlt, dass ich für den Grad einer Funktion folgende Bedingung erhalten muss: deg(f⋅g)=deg(f)+deg(g)
Mehr ist es nicht, oder? (Zumindest was meinen Denkfehler bezüglich deg(0)=0 betrifft)

Und danke auch...

michaL aktiv_icon

09:36 Uhr, 14.06.2017

Hallo,

> Stellt sich noch die Frage warum -unendlich und nicht +unendlich?

Nun, die Multiplikation ist nicht die einzige Operation auf der Menge der Polynome. Man könnte auch addieren.
* Überleg zunächst, wie sich die Grade von Polynomen auf den Grad der Polynomsumme auswirkt. (Finde also zunächst eine Formel für die Summe so wie die Formel des Produkts.)
* Überlege dann, warum

+ \infty

diese Formel in einigen Fällen verletzt.

> Mehr ist es nicht, oder?

Nun, ich sehe im Moment keinen anderen Grund. (Sonst hätte ich ihn wenigstens angedeutet.)

Mfg Michael

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