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Grad k der Homogenität bestimmen

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Tags: Funktion, homogen, Homogenität, Homogenitätsgrad

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divad

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20:37 Uhr, 18.12.2018

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Hallo. Ich habe drei Funktionen gegeben und soll ermitteln, ob diese homogen sind und wenn ja den Grad

k

der Homogenität bestimmen.

(a)

f (x, y) = x^{7} + 5 x^{3} \cdot y^{4} + x \cdot y^{6}

(b)

f (x, y, z) = 4 x \cdot y^{2} + 2 y \cdot x - 0,5 \cdot z^{3}

(c)

f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot y^{2} + x \cdot y^{3}}{{(x \cdot y)}^{2}}

Also eigentlich muss ich doch

x

mit tx und

y

mit ty ersetzen und anschließend

t

ausklammern.
Bei

(a)

wäre das dann:

t \cdot x^{7} + 5 \cdot t \cdot x^{3} \cdot t \cdot y^{4} + t \cdot x \cdot t \cdot y^{6} \to

dann

t

ausklammern

t (x^{7} + 5 \cdot x^{3} \cdot y^{4} + x \cdot y^{6})

Woher weiß ich jetzt, ob die Funktion homogen ist?
Und wie bestimme ich dadurch den Grad der Homogenität, eigentlich müsste es ja

k = 1

sein, da vor der Klammer

t^{1}

gegeben ist.. aber dann bekomme ich bei jeder Funktion den Grad 1.
Kann

(b)

homogen sein, da noch

z

als Variable dazu kommt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

ermanus

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21:08 Uhr, 18.12.2018

Antworten

Hallo,
du sollst

x

durch

t x

und

y

durch

t y

ersetzen,
z.B. (a):

f (t x, t y) = (t x)^{7} + 5 (t x)^{3} (t y)^{4} + (t x) (t y)^{6}

.
Das ist ja was ganz anderes.
Gruß ermanus

divad

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21:25 Uhr, 18.12.2018

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Hey:-)

ich habe bei

(a)

doch das rausbekommen, was du jetzt aufgeschrieben hast..
ich habe nur zum Schluss

t

ausgeklammert und da komme ich nicht mehr weiter.
Weiß nicht, wie man den Grad der Homogenität dann erhält...

Antwort

ermanus

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21:26 Uhr, 18.12.2018

Antworten

Das hast du nicht gemacht.
Du hast z.B. statt

(t x)^{7}

geschrieben

t x^{7}

.

divad

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21:29 Uhr, 18.12.2018

Antworten

Ohhhh okay, sorry.
Jetzt weiß ich, was du meinst.
Also muss ich dann den Grad quasi ablesen dann?

Antwort

ermanus

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21:34 Uhr, 18.12.2018

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Du hast doch dann

f (t x, t y) = t^{7} x^{7} + 5 t^{3} x^{3} t^{4} y^{4} + t x t^{6} y^{6} = t^{7} x^{7} + 5 t^{7} x^{3} y^{4} + t^{7} x y^{6} = t^{7} (x^{7} + 5 x^{3} y^{4} + x y^{6}) = t^{7} f (x, y)

.
Jetzt siehst du den Homogenitätsgrad ...

Frage beantwortet

divad

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21:37 Uhr, 18.12.2018

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Vielen Dank!:-)

Antwort

ermanus

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21:40 Uhr, 18.12.2018

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Bei (b) wirst du das nicht so hinbekommen, d.h.
(b) ist nicht homogen.
Bei (c) klappt es dann wieder ...
Gruß ermanus

divad

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22:04 Uhr, 18.12.2018

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Bei

(b)

komme ich auch zu keiner Lösung

\to

nicht homogen.

(c)

habe ich nochmal eine Frage.
Also habe raus:

f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot y^{2} + x \cdot y^{3}}{{(x \cdot y)}^{2}}

f(tx,ty)

= \frac{{(t \cdot x)}^{2} \cdot {(t \cdot y)}^{2} + (t \cdot x) \cdot {(t \cdot y)}^{3}}{{(t \cdot x \cdot t \cdot y)}^{2}}

\to \frac{t^{2} \cdot x^{2} \cdot t^{2} \cdot y^{2} + t \cdot x \cdot t^{3} \cdot y^{3}}{t^{2} \cdot x^{2} \cdot t^{2} \cdot x^{2}}

\to \frac{t^{2} \cdot x^{2} \cdot t^{2} \cdot y^{2} + t^{4} \cdot x \cdot y^{3}}{t^{2} \cdot x^{2} \cdot t^{2} \cdot x^{2}}

und da komme ich leider nicht mehr weiter..

divad

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22:10 Uhr, 18.12.2018

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Müsste Grad 0 sein oder?

Antwort

ermanus

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22:22 Uhr, 18.12.2018

Antworten

Hier kannst du

\frac{t^{4}}{t^{4}} = t^{0} = 1

ausklammern, also

f (t x, t y) = f (x, y)

, somit - wie du schon sagtest - Grad 0.

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