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Grad von Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Grad von Funktionen

anonymous

01:37 Uhr, 30.11.2020

Hallo.

Es seien

p

und

q

Polynome in

x

mit deg

p = m

und deg

q = n

und

n > m

. Vervollständigen Sie!

a)

deg(p(x)

+ q (x)) =

b)

deg(p(x) ·

q (x)) =

c)

deg(3 ·

q (x)) =

d)

deg(x^5 ·

q (x)) =

Ich habe nicht verstanden, was hier berechnet werden muss.

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

04:31 Uhr, 30.11.2020

a) d e g (p (x) + q (x)) = n

b) d e g (p (x) \cdot q (x)) = n + m

c) d e g (3 \cdot q (x)) = n

d) d e g (x^{5} \cdot q (x)) = 5 + n

anonymous

00:25 Uhr, 01.12.2020

Vielen Dank für die Lösung. Wie kommt man auf die Ergebnisse?

anonymous

04:06 Uhr, 01.12.2020

Naja also ein Polynom

p (x)

vom Grad

n

hat ja die folgende Form:

p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot x^{i} = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot x^{1} + a_{0} \cdot x^{0}

mit

a_{i} \in ℝ

Beispiel:

5 \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 7

Der Grad von einem Polynom ist immer der höchste Exponent. (Im Beispiel also

3)

.

Und es ist ja

x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}

und

a \cdot x^{n} + b \cdot x^{n} = (a + b) \cdot x^{n}

p (x)

hat Grad

m

und

q (x)

hat Grad

n

und

n > m

. Somit ist der höchste Exponent von

p (x) m

und von

q (x) n

a)

Beispiel:

p (x) = 3 \cdot x^{2} + 5 \cdot x (= 0 \cdot x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 5 \cdot x)

und

q (x) = 2 \cdot x^{3} + x^{2} + 4 \cdot x

dann ist

p (x) + q (x) = 2 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 9 \cdot x

und der Grad ist 3.
Es ist also bei der Addition zweier Polynome mit verschiedenem Grad, dass die Summe den höheren Grad annimmt. Achtung bei gleichem Grad kann sich der Grad verringern, da

z . B . : (- 3 \cdot x \cdot 2 + 2 \cdot x) + (3 \cdot x^{2} + 4 \cdot x) = 6 \cdot x

und hier ist der Grad der Summe

1,

obwohl beide vorher Grad 2 hatten. Aber hier ist ja

n > m

b)

Wenn ich nun zwei Polynome Multipliziere passiert ja das was ich oben schon sagte:

x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}

. der Grad des produkts ist also

n + m,

da sich exponenten beim Multiplizieren addieren.
Beispiel:

(2 \cdot x^{4}) \cdot (3 \cdot x \cdot 2) = 6 \cdot x^{6}

. Das Produkt hat Grad 6 und die beiden Polynome haben Grad 4 und Grad 2 und

4 + 2 = 6

c)Wenn ich nun ein Polynom einfach mit einer Zahl (hier die Zahl

3)

multipliziere passiert ja nicht viel.

3 \cdot q (x) = 3 \cdot \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot x^{i} = \sum_{i = 0}^{n} 3 \cdot a_{i} \cdot x^{i}

.

Die Exponenten verändern sich nicht, sondern nur die Koeffizienten (Koeffizienten sind die

a_{i})

. Also ist deg(3*q(x))=n

d)Jetzt wird

q (x)

mit

x^{5}

multipliziert. Hier passiert dann das gleiche wie in

b)

nur, dass

p (x)

hier eben

x^{5}

ist.

Beispiel:

q (x) = 2 \cdot x^{2} + 3 \cdot x

also deg(q(x))=2 und nun berechne

x^{5} \cdot q (x) = 2 \cdot x^{7} + x^{6}

und somit deg(x^5*q(x))=7=2+5

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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