Gradienten und Tangentialebene

Ich brauche mal Hilfe bei einer Aufgabe:

Wir haben die Funktion des Potenzials ${\displaystyle \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=}$ $\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wobei ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!=0}$

und $\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$. $\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ ist hier die Dielektrizitätskonstante.

Nun ist in der ersten Aufgabe nach dem Gradientenfeld gefragt. Das ist dann also grad(U).

Den habe ich berechnet als

$\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\left(-\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}},-\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}},-\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}\right)$ transponiert.

Soweit so gut. Als nächstes sollten die Äquipotenzialflächen angegeben werden. Diese sind die Flächen wo das Potenzial gleich ist. also wenn ${\displaystyle \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=}$ $\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}$ ist.

c) Zeigen sie, dass das Gradientenfeld der Punktladung senkrecht auf den Äquipotentialflächen steht. Berechnen sie hierzu die Tangentialebene der Äquipotenzialfläche in einem Punkt P.

Das Gradientenfeld wurde unter a) errechnet. Gesucht ist jetzt also zuerst einmal die Tangentialebene der Äquipotentialfläche.

Habe dabei als Punkt P (1,0,0) gewählt. Dann ist die Tangentialebene

$$\begin{gathered} \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(1,0,0)+{\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(1,0,0)*\left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1\\ \begin{array}{c}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-0\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-0\end{array}\end{array}\right)=\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+(\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}},0,0)*\left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1\\ \begin{array}{c}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\end{array}\right) \\ =\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*3^{\frac{3}{2}}}*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*3^{\frac{3}{2}}} \end{gathered}$$

Das bringt mich allerdings noch kein Stück weiter. Ich weiß nicht wie ich hieraus beweisen soll, dass das Gradientenfeld rechtwinklig auf den Äquipotenzialflächen steht.

d) Zeichnen sie das Vektorfeld $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)$.

Fertigen sie eine zweite Skizze der Feldlinien zusammen mit den Äquipotenzialflächen an einer Punktladung an.

Kann mir da jemand Tips geben wie ich das skizzieren kann?