Gradientenfeld aus Vektorfeld bestimmen

Hallo Markis,

nicht ODER sondern UND:

Du mußt zeigen:

${\displaystyle \frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\wedge \frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}{\partial \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\wedge \frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}{\partial \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

und solltest auch feststellen, das ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ Sterngebiet!

Zum Berechnen von a reicht es jedoch erstmal ein Pärchen auszuwählen z.B.

${\displaystyle \frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\partial {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}{\partial \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Dann a einsetzen und die Integrabilitätsbedingung bezügl. der anderen Pärchen prüfen!

Gebiet ist sternförmig bezüglich Punkt a des Gebietes , wenn zu jedem Punkt u des Gebietes die Verbindungstrecke zwischen a und u ganz im Gebiet liegt. Ein solches gebiet nennt man Sterngebiet.

Für ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ ist das immer erfüllt! Stelle Dir ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ einfach als offene (unendliche) Kugel vor. von jedem inneren Punkt der Kugel kannst Du alle anderen sehen!

Die Feststellung, dass es sich bei dem Gebiet, auf dem die Funktion definiert ist, um ein Sterngebiet handelt, ist wichtig, weil nur so die Existenz einer Stammfunktion durch die Integrabilitätsbedingunmg erfüllt ist! Liegt kein Sterngebiet vor mussb ich das Gebiet einschränken, so dass die Funktionj auf einem Sterngebiet betrachtet wird!