 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Gradientrichtung steilster Anstieg?
Gradientrichtung steilster Anstieg?
Universität / Fachhochschule
Tags: Gradient, Partielle Ableitung
 
|
  |
|---|
|
Ein Gradient besteht doch aus allen partiellen Ableitungen an einer bestimmten Stelle, und jede partielle Ableitung gibt die Steigung in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse an, richtig? Aber warum zeigt der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs? Wenn ich auf einer Bergspitze stehe und in nördlicher und östlicher Richtung dieselbe Steigung besteht, würde das heissen, der Gradient auf der Bergspitze zeigt genau in Richtung Nordosten. Aber diese beiden Steigungen sagen doch nichts über die Steigung Richtung Nordosten aus, es könnte dort steil bergab oder bergauf gehen oder auch eben sein, unabhängig von den anderen Steigungen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Auf der Bergspitze kommt es deshalb darauf an, ob die betrachtete Funktion an dieser Stelle wirklich "differnzierbar" ist, oder nicht. Anschaulich: es kommt darauf an, ob die Bergspitze eine "KUPPE" bildet ("total differnzierbar" an diesem Maximum ist), oder eine "SPITZE" bildet, deren Steigung an dieser Stelle nur durch eine "Sprungfunktion" darstellt werden kann, also (zumindest in einer Richtung, zB. von Steigung " 1 " (also von 45°) auf " "( -45°) "springt"). Dies wäre anschaulich so etwas wie ein "scharfer (waagrechter) Grat"). In diesen Fällen ist also (zumindest in einer Richtung) nicht differnzierbar. Wenn es sich beim betrachteten Maximum um eine "Kuppe" handelt, so werden dort also immer ALLE Richungsableitungen verschwinden. Deshalb verschwindet auch der Gradient einer (an einem bestimmten Maximum differnzierbaren Funktion . ;-) |
 |
|
Das war nicht meine Frage, ich gehe einfach mal von einer an allen Punkten in alle Richtungen differenzierbaren Funktion aus. Mir ist auch klar das der Gradient an einem in alle Richtungen ebenen Punkt nur noch aus Nullen besteht. Was ich nicht begreife ist: Warum zeigt ein Vektor aus partiellen Ableitungen in die Richtung des steilsten Anstiegs? Die einzelnen Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen an einem Punkt sagen in meinem Verständnis nichts darüber aus welche Steigungen im Winkel zwischen diesen Achsen auftreten? |
|
|
|
Bist Du damit einverstanden, dass die Tangentialebene an den jeweils betrachteten Punkt (der in diesem Punkt differnzierbaren Funktion " ") durch die Vektoren der beiden Richtungsableitungen "aufgespannt" wird? |
|
|
|
ja, und weiter? |
|
|
|
gut, Nun betrachten wir nur diese Tangentialebene. Sie wird aus zwei Vektoren aufgespannt, die beide unter einem bestimmten Winkel immer nach "oben" zeigen, und ansonsten in die Richtung ihrer Koordinaten, stimmst Du zu? |
|
|
|
bin mir nicht ganz sicher, ob ich mir das richtig vorstelle, aber glaube schon |
|
|
|
gut, wenn nun zwei Vektoren der Tangentialebene unter einem bestimmten Winkel "nach oben" zeigen, so wird deren resultierender Vektor (Vektoraddition in der Tangentialebene) ebenfalls in der Tangentialebene liegen und in die Richtung der stärksten Steigung der Tangentialebene zeigen, denn je steiler einer der beiden Vektoren ist, um so länger ist er auch. ok? |
|
|
|
sorry, wenn ich mich dumm anstelle, aber diese Tangentialebene sagt mir doch nichts über die wirkliche Fläche der Funktion aus, oder doch? |
|
|
|
Im betrachteten Punkt aber "geht die Funktion in die Tangentialebene an diesen Punkt über"! Die Tangentialebene "berührt" an diesem Punkt eben das Gebirge. Im jeweils betrachteten Punkt "schmiegt" sich die Tangentialebene also an die differnzierbare Funktion an. In einer "infinitesimalen Umgebung" um den betrachteten Punkt ist die Tangentialeben mit (nahezu) identisch! Erst, wenn Du Dich "ein kleines Bisschen" von diesem Punkt entfernst, "ist wieder ein wenig Luft" zwischen der Funktion und der betrachteten Tangentialebene an den Punkt . Dies ist ja gerade mit dem Begriff "Linearisierung einer Funktion f(x,y)" gemeint. Und dies ist sozusagen die anschauliche Idee hinter dem "LINEAREN" Glied (also dem Glied mit der ersten Potenz von bzw. der Taylorentwicklung einer Funktion im Punkt . |
|
|
|
ok, ich glaube langsam begreife ich. Wäre es so, wie ich es mir vorstelle, also ein plötzlicher Abstieg zwischen zwei Steigungen, wäre die Funktion nicht mehr differenzierbar an dieser Stelle. So als ob die Stetigkeit in einer Funktion mit nur einen Variablen plötzlich unterbrochen würde. Vielen Dank |
|
|
|
genau :-) "nicht differnzierbar" heisst ja bei (also der Funktion einer Veränderlichen), dass die Ableitung "einen Sprung bei einer Stelle macht" und die zugehörige Funktion eben deshalb einen Knick an der Stelle hat. Dieser "Knick" ist eben bei einem "Gebirge" ein "Grat", an den Du keine eindeutige Tangentialebene definieren kannst. ;-) |
|
|
|
ja, jetzt kapier ichs. Warst mir eine grosse Hilfe, Danke :-) |
|
|
|
gern, es ist für mich immer sehr befriedigend, wenn ich mit meinen Talenten anderen helfen kann :-) |
 |
|
Muss nochmal antworten, konnte die Frage nicht als beantwortet markieren. |
1204468
1204413