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Gram-Schmidt ohne Standard - Skalarprodukt

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Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

8mileproof aktiv_icon

13:34 Uhr, 19.07.2012

hallo,

habe folgende aufgabe (siehe aufgabe unten) die ich lösen muss. an sich versteh ich das gram schmidt verfahren. nur bis jetzt hatte ich immer mit dem standard-skalarprodukt gelöst. in der dieser aufgabenstellung ist jetzt ein anderes skalarprodukt gegeben. wie muss ich das lösen?

kann mir jmd. vtl. tipps geben?

die musterlösung ist mit angegeben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mauthagoras aktiv_icon

13:47 Uhr, 19.07.2012

Hallo,

die Formel für das Gram-Schmidt-Verfahren hast Du doch mit Skalarprodukt gegeben, oder? Dann musst die diese tatsächlich einfach mit dem neuen Skalarprodukt anwenden. Um den ersten Vektor zu normieren, berechnest Du dann

< x, x > = 1 * 1 + 2 * 1 + 3 * 1 = 6

, also gilt hier

∥ x ∥ = \sqrt{6}

und Du erhältst den ersten Vektor der Kontrolllösung. So kannst Du dann einfach weitermachen.

8mileproof aktiv_icon

14:03 Uhr, 19.07.2012

also mit dem gram-schmidt verfahren bekommt man doch aus einer bel. basis eine orthogonalbasis. wenn man die vektoren daraus normiert, so kriegt man eine orthonormalbasis raus. klar.

ich habe jetzt gram-schmidt verfahren mit dem neuen skalarprodukt berechnet und als ersten orthogonalbasis-vektor

w_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und als zweiten

w_{2} = (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

ich habe die probe

w_{1} ⊥ w_{2}

durchgehführt und die sind richtig. das mit dem normieren wollte ich erst zum schluss machen.

w_{3}

mach ich die ganze zeit falsch....irgendwo ist ein fehler bei mir....aber mit dem neuen skalarprodukt habe ich verstanden.

Mauthagoras aktiv_icon

14:17 Uhr, 19.07.2012

Der zweite Vektor ist nicht richtig. Bezüglich des üblichen Skalarproduktes sind Deine Vektoren orthogonal, aber nicht bezüglich des neuen.

Sei

v_{1} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, 1)^{t}

die erste Lösung. Dann ergibt sich mit der Formel

{\tilde{v}}_{2} := y - < v_{1}, y > v_{1} = (1, 1, 0)^{t} - \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot (1, 1, 1)^{t} = {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})}^{t}

.
Wieder mit dem neuen Skalarprodukt erhalten wir

∥ {\tilde{v}}_{2} ∥ = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}

, also als zweiten Vektor

v_{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})}^{t} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, - 1)^{t}

, also das Gewünschte.

Rechnen wir nach, dass

v_{1} ⊥ v_{2}

: Es gilt

< v_{1}, v_{2} > = \frac{1}{6} (1 * 1 * 1 + 2 * 1 * 1 + 3 * 1 * (- 1)) = \frac{1}{6} (3 - 3) = 0 .

Noch etwas anderes: Ich würde Dir nicht empfehlen, erst am Ende zu normieren, weil Du Dir damit mehr Arbeit machst als nötig. Man muss dann etwas anders rechnen und, ohne, dass man es wirklich bemerkt, in jedem Schritt jeden beteiligten Vektor normieren, was natürlich umständlicher ist.

8mileproof aktiv_icon

00:14 Uhr, 20.07.2012

okay. vielen dank. jetzt habe ichs verstanden.

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