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Graphen g(x) aus der Spiegelung von 3 anderen Grap

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Graph, spiegelung

Mario1993 aktiv_icon

14:31 Uhr, 06.08.2011

Hallo,

bin an einer Matheaufgabe, die ich nicht verstehe:
Begründen Sie, dass man den Graphen

g (x)

aus den vorgegebenen Grpahen durch eine geeignete Spiegelung erhalten kan.. Welche Beziehung besteht zwischen den 3 gegebenen Funktionen?

g (x) = x^{3} + 3 x^{2}

vorgegebene Graphen:

f 1 (x) = x^{3} - 9 x

f 2 (x) = x {(x + 3)}^{2}

f 3 (x) = - x^{2} (x + 3)

Habe mir das ganze auch einmal bildlich veranschaulicht, aber ich verstehe die Aufgabe 0. Wäre dankbar, wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln
Parallelverschiebung
Spiegelung Punkt an Ebene
Spiegelung Punkt an Gerade

DmitriJakov aktiv_icon

15:09 Uhr, 06.08.2011

Das ist jetzt nicht einfach zu erklären. Aber vielleicht siehst Du es besser, wenn ich die vier Funktionen ein wenig anders darstelle:

g (x) = x^{2} \cdot (x + 3)

f_{1} (x) = x (x^{2} - 9) = x (x + 3) (x - 3)

f_{2} (x) = x (x + 3) (x + 3)

f_{3} (x) = - x^{2} (x + 3)

Am Einfachsten ist es wohl mit

f_{3} (x),

die einfach an der x-Achse gespiegelt

g (x)

ergibt

Die anderen beiden habe ich mal als Bild angehängt. Du kannst mit dem Schieberegler a verändern. So siehst Du wie sich die drei dann unterschiedlich entwickeln, wenn Der Regler die Null verlässt.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Mario1993 aktiv_icon

15:12 Uhr, 06.08.2011

Kann die Datei leider nicht öffnen

- . -

Wie müsste man denn die anderen Funktionen verschieben, damit sie

g (x)

ergeben. Habe das mit

f 3

auch direkt erkannt, aber bei den anderen ist es schwer. Und was für Eigenschaften bestehen dann zwischen den 3 Graphen? Dass man mind

1 x

bzw die Klammer ausklammern kann?

EDIT:
Dann wäre die Lösung auf die erste Frage: Jede der Funktionen enhält

x (x + 3)

oder nicht? Hmm das würd die nächste Frage jedoch auch schon miteinbeziehen.

DmitriJakov aktiv_icon

15:16 Uhr, 06.08.2011

Die Fehlermeldung ignorierst Du am Besten. Die Zeichnung einfach wieder schließen und erneut den Link zur Zeichnung anklicken. Nach

2 - 3

mal laden müsste es dann vollständig offen sein.

Mario1993 aktiv_icon

15:17 Uhr, 06.08.2011

Gibt leider andauernd einen JAVA Error und kann JAVA auch nicht installieren.

DmitriJakov aktiv_icon

15:27 Uhr, 06.08.2011

Ok, dann geht es nicht.

Es läuft so ähnlich wie bei einer Parabel:

y = x^{2}

ist die Standardparabel

y = x^{2} + a

Das a verschiebt sie nach oben oder unten

y = (x - b) + a

Das

b

verschiebt sie nach links oder rechts

y = c (x - b) + a

Das

c

streckt oder staucht sie.

Bei einer Funktion dritten Grades ist das ganz ähnlich. Aber ohne Animation wird das jetzt sehr schwer das irgendwie mit Worten darzustellen.
Du hast in Deiner Aufgabe mehr oder weniger dastehen:

y = (x + a) (x + b) (x + c)

Wobei

a, b

und

c

jeweils

1, 3

oder

- 3

werden.

Mario1993 aktiv_icon

15:30 Uhr, 06.08.2011

Also wäre die Antwort für die 1. Frage:
In jedem der Graphen steckt

x (x + 3)

. Diese Eigenschaften sind jedoch pro Funktion verändert worden.

Also ich habe die Aufgabe nun verstanden aber weiß nocht nicht ganz, wie ich das in 2 Antwortsätzen für beide Fragen auf's Papier bringen soll :-D) Dank deiner Umstellung sieht man ja, dass man überall

1 (x + 3)

ausklammern kann bzw diese ich nenne es mal "Grundeigenschaft" überall gegeben aber verändert worden ist.

DmitriJakov aktiv_icon

15:44 Uhr, 06.08.2011

Ich schreibe es nochmal untereinander:

g : x \cdot (x + 3) \cdot x

f 1 : x \cdot (x + 3) (x - 3)

f 2 : x \cdot (x + 3) (x + 3)

f 3 : x \cdot (x + 3) \cdot (- x)

Wenn Du dir die Graphen der vier Funktionen nochmal ansiehst:

f 1

zieht die Extrempunkte nach links oben und rechts unten

f 2

Schiebt

g

insgesamt nach links unten

f 3

spiegelt

g

an der x-Achse

Mario1993 aktiv_icon

15:46 Uhr, 06.08.2011

Dann wäre deine Antwort eben die Antwort zur 1. Frage! Nur was ist die Antwort auf die 2. Frage? Kann ich nur schwer trennen.

DmitriJakov aktiv_icon

15:59 Uhr, 06.08.2011

Wenn nicht jemandem noch eine bessere Antwort einfällt würde ich sagen:
Die Beziehung der Funktionen untereinander ist, dass sie sich als Funktion mit Parameter

k

schreiben lassen:

y = x \cdot (x + 3) (x + k)

und

k \in {- 3; 0; 3}

Sie haben alle jeweils bei

x = 0

und

x = - 3

eine Nullstelle. Für

k = - 3

kommt

x = 3

als dritte Nullstelle hinzu, alle anderen haben nur die gemeinsamen Nullstellen.

g (x)

lässt sich nur durch Spiegelung von

f 3

an der x-Achse abbilden.

DmitriJakov aktiv_icon

16:02 Uhr, 06.08.2011

Addendum: für

f 3

braucht es noch einen weiteren Parameter, der das Vorzeichen des dritten Faktors umkehrt.

Mario1993 aktiv_icon

16:08 Uhr, 06.08.2011

Danne rwähne ich das noch mit den gleichen Nullstellen. Vielen Dank :-)!!!

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