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Grenzen bei Summen verschieben

Schüler Musikschule,

Tags: Grenzen, Summen, verschieben

Sonnenkind78 aktiv_icon

17:32 Uhr, 04.08.2015

Hey, ich habe gerade gelesen, dass gilt

$\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i}{i!} \cdot x^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i - 1)!} \cdot x^{i - 1}$

Wie komme ich da hin?

Was muss ich genau bei der Verschiebung der Grenzen beachten? Leider finde ich nichts richtiges im Internet oder nur Dinge, die ich leider nicht richtig verstehe $: ($

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

17:44 Uhr, 04.08.2015

Hallo,
vielleicht hilft dir ja Folgendes weiter:

$\frac{i}{i!}$ mit $i$ kürzen

$\frac{\frac{i}{i}}{\frac{i!}{i}} = \frac{1}{\frac{i!}{i}}$

$\frac{i!}{i} = \frac{i \cdot (i - 1) \cdot (i - 2) \cdot ...}{i} = (i - 1) \cdot (i - 2) \cdot . .$ . $= (i - 1)!$

$\frac{1}{\frac{i!}{i}} = \frac{1}{(i - 1)!}$

Allerdings weiß ich leider nicht, warum man von $i = 0$ unter dem Summenzeichen auf $i = 1$ kommt.

Sonnenkind78 aktiv_icon

18:08 Uhr, 04.08.2015

Vielen Dank, damit hast du mir sehr gut geholfen :-)

Zur Indexverschiebung werde ich einfach ein neues Thema erstellen ;-)

Danke :-)

Roman-22

20:31 Uhr, 04.08.2015

Aufpassen!

$\frac{i}{i!} = \frac{1}{(i - 1)!}$ gilt nur für $i \geq 1$ . Also NICHT für $i = 0!$ (da hätten wir ja durch 0 gekürzt)

Grund: Per definitionem ist $0! = 1,$ aber $(- 1)!$ ist undefiniert (und bei der Definition über die Gamma-Funktion mit $n! = Γ (n + 1)$ liegt dort eine Polstelle vor).

Es ist also $\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i}{i!} \cdot x^{i - 1} \neq \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{(i - 1)!} \cdot x^{i - 1},$

sondern $\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i}{i!} \cdot x^{i - 1} = \frac{0}{0!} \cdot x^{0 - 1} + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i - 1)!} \cdot x^{i - 1}$

Der erste Summand für $i = 0$ muss extra behandelt werden. $x \neq 0$ müssen wir ohnedies voraussetzen und mit $0! = 1$ ist dieser Summand Null und kann daher weggelassen werden.
So kommst du dann auf die ursprünglich angegebene Umformung.
Hier hat keine Indexverschiebung stattgefunden.

Aber wenn du Lust hast, kannst du eine solche jetzt noch nachschießen

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i - 1)!} \cdot x^{i - 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot x^{k}$

Denk dir dazu jedes $i$ ersetzt durch $k + 1$ . Aus $i = 1$ wird $k + 1 = 1$ oder $k = 0$ und aus $i - 1$ wird $k + 1 - 1 = k$ . Natürlich musst du keine neue Indexvariable $k$ einführen, sondern kannst wieder $i$ verwenden.

Also $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i - 1)!} \cdot x^{i - 1} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} \cdot x^{i} = \sum_{i = 37}^{\infty} \frac{1}{(i - 37)!} \cdot x^{i - 37} = \sum_{i = - 13}^{\infty} \frac{1}{(i + 13)!} \cdot x^{i + 13} = . .$ .

Gruß $R$

Sonnenkind78 aktiv_icon

23:05 Uhr, 04.08.2015

Vielen vielen Dank! Das hast du mir echt super erklärt!

Ich hätte jedoch noch eine kleine Frage: Wie kommt man von dem $i$ auf 1 bei

$\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i}{i!} \cdot x^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(i - 1)!} \cdot x^{i - 1}$

Roman-22

23:11 Uhr, 04.08.2015

$>$ Wie kommt man von dem $i$ auf 1

?? Meinst du, warum der Index vei der zweiten Summe erst bei 1 zu laufen beginnt? Das hab ich gerade oben ausführlich erklärt (kurz: weil sich für $i = 0$ der Summand 0 einstellt)

?? Oder meinst du, wie man von $\frac{i}{i!}$ auf $\frac{1}{(i - 1)!}$ kommt? Das hat dir NeymarJr recht ausführlich gezeigt.

$\frac{i}{i!} = \frac{i}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... . \cdot (i - 2) \cdot (i - 1) \cdot i} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (i - 2) \cdot (i - 1)} = \frac{1}{(i - 1)!}$

$R$

Sonnenkind78 aktiv_icon

23:14 Uhr, 04.08.2015

Vielen Dank, jetzt hat es ,,klack" bei mir gemacht. Die letzte Frage von mir war echt unnötig! Vielen lieben Dank! :-)

anonymous

08:18 Uhr, 05.08.2015

Ich habe mir eben noch einmal alles durchgelesen. Roman-22, du hast vollkommen Recht! Ich habe gar nicht beachtet, dass $i$ größer als 1 sein muss.

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